Wann ist der Erwartungswert des Momentums 000?

Question

Wann ist der Erwartungswert des Momentums 000?

Nakshatra Gangopadhay

Wann ist der Erwartungswert des Impulses für eine quantenmechanische Wellenfunktion $0$ ?

Einer der möglichen Fälle, an die ich denke, ist, wenn die Wellenfunktion symmetrisch ist. In diesem Fall bewegt sich das Teilchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit in die positive und negative Richtung.

Allerdings bin ich auch darauf gestoßen, dass der Erwartungswert des Momentums „ immer “ ist $0$ , für eine reelle Wellenfunktion.

Meine Frage ist, sind die beiden oben genannten Fälle unabhängig voneinander? Wenn zum Beispiel die Wellenfunktion reell, aber nicht symmetrisch ist, ist der Impuls immer noch da $0$ ? Oder wenn die Wellenfunktion komplex, aber symmetrisch ist, ist der Erwartungswert $0$ ?

Da ich auch zu der Annahme verleitet werde, dass Wellenfunktionen im gebundenen Zustand real sind, sollten Partikel nicht immer eindimensional gebunden sein $0$ Impuls, unabhängig von der Symmetrie, da sie "real" sind? Gibt es gebundene Zustände, deren Wellenfunktionen komplex sind?

Jede Erklärung wäre sehr willkommen.

Antworten (1)

Wann ist der Erwartungswert des Momentums 000?

JG · Answer 1

Trennen Sie den Real- und Imaginärteil einer Wellenfunktion in gerade und ungerade Teile, nämlich.

ψ = e_{R} + Ö_{R} + ich e_{ich} + ich Ö_{ich}

$\psi=e_r+o_r+ie_i+io_i$ mit

e_{r}, e_{i}

$e_r,\,e_i$ echt und sogar und

o_{r}, o_{i}

$o_r,\,o_i$ echt und seltsam. Das mittlere Momentum ist

- ich ℏ \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} ψ^{'} D X = - ich ℏ \int_{- \infty}^{\infty} (e_{R} + Ö_{R} - ich e_{ich} - ich Ö_{ich}) (e_{R}^{'} + Ö_{R}^{'} + ich e_{ich}^{'} + ich Ö_{ich}^{'}) D X .

$-i\hbar\int_{-\infty}^\infty\psi^\ast\psi^\prime dx=-i\hbar\int_{-\infty}^\infty(e_r+o_r-ie_i-io_i)(e_r^\prime+o_r^\prime+ie_i^\prime+io_i^\prime)dx.$ Wenn man diesen Integranden erweitert, gibt es sechzehn Terme mit bestimmter Parität, von denen acht ungerade sind, sodass ihre Beiträge verschwinden. Der Mittelwert ist

- ich ℏ \int_{- \infty}^{\infty} (e_{R} Ö_{R}^{'} + Ö_{R} e_{R}^{'} + e_{ich} Ö_{ich}^{'} + Ö_{ich} e_{ich}^{'}) D X + ℏ \int_{- \infty}^{\infty} (e_{R} Ö_{ich}^{'} + Ö_{R} e_{ich}^{'} - e_{ich} Ö_{R}^{'} - Ö_{ich} e_{R}^{'}) D X .

$-i\hbar\int_{-\infty}^\infty(e_ro_r^\prime+o_re_r^\prime+e_io_i^\prime+o_ie_i^\prime)dx+\hbar\int_{-\infty}^\infty(e_ro_i^\prime+o_re_i^\prime-e_io_r^\prime-o_ie_r^\prime)dx.$ Durch Unitarität verschwinden Wellenfunktionen bei

\pm \infty

$\pm\infty$ , ebenso wie ihre Real- und Imaginärteile sowie deren gerade und ungerade Teile. So

- ich ℏ \int_{- \infty}^{\infty} (e_{R} Ö_{R}^{'} + Ö_{R} e_{R}^{'} + e_{ich} Ö_{ich}^{'} + Ö_{ich} e_{ich}^{'}) D X = - ich ℏ [e_{R} Ö_{R} + e_{ich} Ö_{ich}]_{- \infty}^{\infty} = 0.

$-i\hbar\int_{-\infty}^\infty(e_ro_r^\prime+o_re_r^\prime+e_io_i^\prime+o_ie_i^\prime)dx=-i\hbar[e_ro_r+e_io_i]_{-\infty}^\infty=0.$ Beruhigenderweise ist der Mittelwert real, nämlich

ℏ \int_{- \infty}^{\infty} (e_{R} Ö_{ich}^{'} + Ö_{R} e_{ich}^{'} - e_{ich} Ö_{R}^{'} - Ö_{ich} e_{R}^{'}) D X .

$\hbar\int_{-\infty}^\infty(e_ro_i^\prime+o_re_i^\prime-e_io_r^\prime-o_ie_r^\prime)dx.$ Dies kann aus mehreren Gründen verschwinden. Wenn

ψ

$\psi$ ist symmetrisch,

o_{r} = o_{i} = 0

$o_r=o_i=0$ , also ist der Integrand

0

$0$ ; Wenn

ψ

$\psi$ ist echt,

e_{i} = o_{i} = 0

$e_i=o_i=0$ , also ist der Integrand

0

$0$ . Wie angemerkt, welche der vier DOFs in jedem Fall verschwinden, sind dies unterschiedliche, falls sich überschneidende Gründe.

Vielen Dank, das ist alles, was ich brauchte. Die beiden Gründe hängen also nicht voneinander ab. Da wir zeigen können, dass Wellenfunktionen gebundener Zustände reell sind, bedeutet dies für gebundene Zustände, dass der Erwartungswert des Impulses immer 0 ?
@NakshatraGangopadhay Ah, ich sehe, Sie kennen dieses Ergebnis . Beachten Sie die Haftungsausschlüsse von Qmechanic.
Da dies für TDSE im Allgemeinen nicht gilt, gilt dies nicht für Überlagerungszustände. In diesen Fällen ist der Erwartungswert ohne Symmetrie nicht 0.
@NakshatraGangopadhay Ich sehe, Sie haben die Haftungsausschlüsse zur Kenntnis genommen. Als Übung können Sie auch meine Berechnung überprüfen, die zeigt, dass imaginäre und ungerade Wellenfunktionen einen mittleren Impuls von Null haben.

Wann ist der Erwartungswert des Momentums 000?

Nakshatra Gangopadhay

Antworten (1)

JG

Nakshatra Gangopadhay

JG

Nakshatra Gangopadhay

JG

Komplexes Konjugat des Impulsoperators

Wie wirkt der Impulsoperator auf Zustands-Kets?

Beweis, dass der auf eine Wellenfunktion wirkende Impulsoperator den Erwartungswert angibt

Woher kommt P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi( x) kommen aus?

Quantenfeldtheorie für den begabten Amateur: Aufgabe 2.4

Bra Ket Notation und Ableitung [Duplikat]

Gibt es eine quadratintegrierbare Funktion, die im Unendlichen nicht gegen Null geht, aber in den Bereich des Impulsoperators gehört?

Impulserwartung im gebundenen Zustand

Finden von T†T†T^\dagger wobei Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Warum stellen wir Zustandsvektoren mit Ket-Vektoren dar?