Beweis, dass der auf eine Wellenfunktion wirkende Impulsoperator den Erwartungswert angibt

Question

Beweis, dass der auf eine Wellenfunktion wirkende Impulsoperator den Erwartungswert angibt

Jaime_mc2

Ich verfolge ein Buch, in dem der Autor versucht, das zu beweisen

\begin{matrix} (0) & ⟨ P ⟩ = ⟨ ψ | \hat{P} | ψ ⟩, \end{matrix}

$\langle p \rangle = \langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi \rangle,\tag{0}$ also berechnet er einfach das Integral

\begin{matrix} (1) & ⟨ ψ | \hat{P} | ψ ⟩ = \int_{R} ψ^{*} (X) (- ich ℏ \frac{D}{D X}) ψ (X) D X \end{matrix}

$\langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi \rangle ~=~ \int_{\mathbb{R}} \psi^*(x) \left( -i\hbar \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right) \psi(x) \, \mathrm{d}x \tag{1}$

und beginnt damit, das zu sagen

\begin{matrix} (2) & - ich ℏ \frac{D ψ (X)}{D X} = - ich ℏ \frac{D}{D X} \int_{R} \tilde{ψ} (P) e^{ich P X / ℏ} D P = \int_{R} P \tilde{ψ} (P) e^{ich P X / ℏ} D P \end{matrix}

$-i\hbar\dfrac{\mathrm{d}\psi(x)}{\mathrm{d}x} ~=~ -i\hbar\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{\mathbb{R}} \tilde{\psi}(p) e^{ipx/\hbar} \, \mathrm{d}p ~=~ \int_{\mathbb{R}} p \, \tilde{\psi}(p) \, e^{ipx/\hbar} \, \mathrm{d}p \tag{2}$

was in Ordnung ist, weil wir die Wellenfunktion auf dem Ortsraum als Summe von Wellenfunktionen auf dem Impulsraum entwickeln können, indem wir die Fourier-Transformation weiter verwenden $\psi(x) .$

Mit diesem Ergebnis haben wir das

\begin{matrix} (3) & ⟨ ψ | \hat{P} | ψ ⟩ = \int_{R} (\int_{R} {\tilde{ψ}}^{*} (P^{'}) e^{ich P^{'} X / ℏ} D P^{'}) (\int_{R} P \tilde{ψ} (P) e^{ich P X / ℏ} D P) D X \end{matrix}

$\langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi \rangle ~=~ \int_{\mathbb{R}} \left( \int_{\mathbb{R}} \tilde{\psi}^*(p') \, e^{ip'x/\hbar} \mathrm{d}p' \right) \left( \int_{\mathbb{R}} p \, \tilde{\psi}(p) \, e^{ipx/\hbar} \mathrm{d}p \right) \mathrm{d}x \tag{3}$

Ich verstehe jedoch nicht, warum die nächsten beiden Schritte mathematisch korrekt sind und wie er die Integrationszeichen bewegt:

\begin{aligned} (4) & ⟨ ψ | \hat{P} | ψ ⟩ & = \int_{R} \int_{R} P {\tilde{ψ}}^{*} (P^{'}) \tilde{ψ} (P) (\int_{R} e^{ich (P - P^{'}) X / ℏ} D X) D P^{'} D P \\ (5) & = \int_{R} \int_{R} δ (P - P^{'}) P {\tilde{ψ}}^{*} (P^{'}) \tilde{ψ} (P) D P D P^{'} \\ (6) & = \int_{R} P | \tilde{ψ} (P) |^{2} D P \\ (7) & = ⟨ P ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi \rangle &= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} p\, \tilde{\psi}^*(p')\, \tilde{\psi}(p) \left( \int_{\mathbb{R}} e^{i(p-p')x/\hbar} dx\right) \, \mathrm{d}p' \, \mathrm{d}p \tag{4} \\[5px] &= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} \delta(p-p') \,p\, \tilde{\psi}^*(p')\, \tilde{\psi}(p) \, \mathrm{d}p \, \mathrm{d}p' \tag{5} \\[5px] &= \int_{\mathbb{R}} p \vert \tilde{\psi}(p) \vert^2 \, \mathrm{d}p \tag{6} \\[5px] &= \langle p \rangle \tag{7} \end{align}$

Gl. (7) folgt offensichtlich aus Gl. (6), weil der Erwartungswert einer Zufallsvariablen gleich dem Integral dieser Variablen multipliziert mit der Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung ist, was genau das ist $\vert\tilde{\psi}(p)\vert^2$ Ist. Aber wie kommt er zu Gl. (6)?

Frage: Wie erhalten wir die Gleichungen (5) und (6) ausgehend von Gleichung (4)?

ACuriousMind

Ich verstehe diese Frage nicht -

⟨ p ⟩

$\langle p\rangle$ Und

⟨ ψ | \hat{p} | ψ ⟩

$\langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi\rangle$ sind für mich nur zwei Bezeichnungen für dieselbe Sache. Was genau wollen Sie hier beweisen?

QMechaniker

Welches Lehrbuch?

David z

@ACuriousMind Ich vermute, dass Jamie_mc2 verwendet

⟨ p ⟩

$\langle p\rangle$ den statistischen Erwartungswert bedeuten, dh

⟨ X ⟩ = E [X] = \int X P (X) d X

$\langle X\rangle = E[X] = \int X P(X) \mathrm{d}X$ , was nicht a priori dasselbe ist wie ein Matrixelement eines Operators wie

⟨ ψ | \hat{p} | ψ ⟩

$\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle$ .

Jaime_mc2

Ja @DavidZ genau das meinte ich. Danke

Antworten (1)

Beweis, dass der auf eine Wellenfunktion wirkende Impulsoperator den Erwartungswert angibt

Ich verstehe diese Frage nicht - $\langle p\rangle$ Und $\langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi\rangle$ sind für mich nur zwei Bezeichnungen für dieselbe Sache. Was genau wollen Sie hier beweisen?
@ACuriousMind Ich vermute, dass Jamie_mc2 verwendet $\langle p\rangle$ den statistischen Erwartungswert bedeuten, dh $\langle X\rangle = E[X] = \int X P(X) \mathrm{d}X$ , was nicht a priori dasselbe ist wie ein Matrixelement eines Operators wie $\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle$ .

ACuriousMind · Answer 1

Aus Gl. (4) bis Gl. (5): Die Fourier-Transformation von $1$ ist der $\delta$ Funktion, dh $\int \mathrm{e}^{\mathrm{i}px}\mathrm{d}p = \delta(x)$ , vgl. zB Wikipedia .

Aus Gl. (5) bis Gl. (6): Dies ist nur die charakteristische Eigenschaft des $\delta$ -Funktion, dh $\int f(x) \delta(x - y) \mathrm{x} = f(y)$ .

Es gibt $2\pi$ fehlt überall: $\int e^{ipx}dp = 2\pi \delta(x)$

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Jaime_mc2

ACuriousMind

QMechaniker

David z

Jaime_mc2

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ACuriousMind

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