Gibt es eine quadratintegrierbare Funktion, die im Unendlichen nicht gegen Null geht, aber in den Bereich des Impulsoperators gehört?

Die kurze Antwort lautet: Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.

Das ist in der Tat falsch$f\in L^2(\mathbb R, dx)$verschwindet bekanntlich im Unendlichen (es gibt auch einige Antworten in PSE zu diesem Thema), aber es ist auch wahr, dass, wenn$D(P)$ist der Definitionsbereich des Impulsoperators$P$über die echte Linie,

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$f \in D(P)\quad$impliziert, dass$\quad f(x) \to 0\quad$als$\quad x\to \pm\infty$.

Lassen Sie uns diese Tatsache beweisen.

Beachten Sie zunächst, dass dies eine der äquivalenten Definitionsmöglichkeiten ist$D(P)$um einen richtig selbstadjungierten Impulsoperator zu haben$L^2(\mathbb R , dx)$Ist

$$D(P) := \left\{\: \left.f \in L^2(\mathbb R, dx)\:\right|\: \exists \: f' \mbox{in weak sense and } f' \in L^2(\mathbb R, dx)\right\}\:,$$ und dann, wo$f'$ist die schwache Ableitung von$f$, ist der Impulsoperator als selbstadjungierter Operator definiert $$Pf = -i\hbar f'\:.$$ Nehmen wir also an$f\in D(P)$. Seit$[s,s']$hat endliches Lebesgue-Maß$f\in L^2([s,s'], dx)$impliziert$f\in L^1([s,s'], dx)$, So$F(s) := \int_{s'}^s f'(x)dx$existiert. Dass es sich dabei auch um eine stetige Funktion handelt, ist angesichts der Eigenschaften des Integrals offensichtlich. Aus bekannten Sätzen der reellen Analysis kennen wir das auch $$f(s')-f(s) = \int_s^{s'} f'(x)dx \quad \mbox{almost everywhere}\:.\tag{1}$$ Insbesondere können wir beheben$f$seitdem überall kontinuierlich sein , modifizieren$f$über eine Nullmaßmenge,$f(x)= f(s)+ F(x)$.
Jetzt können wir die Chaucy-Schwartz-Ungleichung in (1) ausnutzen: $$|f(s')-f(s)| \leq \int_s^{s'} |f'(x)| |1|dx \leq \sqrt{\int_s^{s'} |f'(x)|^2 dx}\sqrt{\int_{s}^{s'}|1|^2 dx} \leq ||f'||_{L^2} \sqrt{|s-s'|}\:.$$ Beachte das$||f'||_{L^2} <+\infty$durch Hypothese. Die Schätzung $$|f(s)-f(s')| \leq ||f'||_{L^2} \sqrt{|s-s'|},$$ die bei unserer Wahl überall gültig ist$f$, impliziert, dass$f$ist über das Ganze gleichmäßig stetig$\mathbb R$.

Abschließend beweise ich das

VORSCHLAG . Wenn$f: \mathbb R \to \mathbb C$ist gleichmäßig stetig und$f\in L^p(\mathbb R, dx)$, für einige$p>0$(insbesondere$p=2$) Dann$f(x) \to 0$für beide$x\to +\infty$Und$x\to -\infty$.

NACHWEISEN. Angenommen, das ist falsch $f(x) \to 0$für$x\to +\infty$(Der andere Fall ist analog). Davon können wir ausgehen$f$ist echt wertvoll, denn wenn die These auch nicht falsch ist$Ref$oder$Im f$(die dazugehören$L^p$und sind gleichmäßig kontinuierlich) neigen nicht dazu$0$als$x \to \pm \infty$. Daher gibt es$M>0$und eine Folge$x_n \to +\infty$als$n\to +\infty$so dass$|f(x_n)| >M$. Als Folge kann ich eine befriedigende Teilfolge extrahieren$f(x_{n_k})>M$für jeden$k$oder$f(x_{n_k})< -M$für jeden$k$. Ersteres halte ich für gültig, da letzteres analog behandelt werden kann. Seit$x_{n_k} \to +\infty$als$k\to +\infty$, kann ich eine weitere Teilsequenz extrahieren$x_{n_{k_h}} \to +\infty$als$h\to +\infty$so dass$x_{n_{k_{h+1}}}- x_{n_{k_h}}>1$und wie gesagt$f(x_{n_{k_h}})>M$.

Der Einfachheit halber definiere ich fortan$s_h := x_{n_{k_h}}$.

Beachten Sie nun, dass durch gleichmäßige Stetigkeit, wenn$\epsilon = M/2$, Es gibt$\delta>0$so dass

$$|f(s)-f(s_h)|< M/2 \quad \mbox{if $|s-s_h|<\delta$ for every $h\in \mathbb N$.}$$
Somit $$-M/2 <f(s)- f(s_h)< M/2$$ damit insbesondere $$M/2 < f(s_h) -M/2 < f(s)\quad \mbox{if $|s-s_h|<\delta$.}$$ Zusammenfassend nehmen$\delta < 1/2$falls nötig, haben wir eine unendliche Klasse von paarweise disjunkten Intervallen$I_h = [s_h-\delta,s_h+\delta]$mit identischer Länge$2\delta>0$Wo$f(s) > M/2 >0$. Deshalb $$\int_{\mathbb R} |f(x)|^p dx \geq \sum_{h\in \mathbb N} \int_{I_h} |f(x)|^p dx \geq \sum_{h\in \mathbb N} 2\delta M^p/2^p= +\infty\:.$$ Dies ist seit dem unmöglich$f\in L^p(\mathbb R, dx)$und somit existieren die besagten Sequenzen nicht und$f(x) \to 0$für$x\to \pm \infty$. QED