Physikalische Bedeutung von keinem selbstadjungierten Impulsoperator auf einer Halblinie?

1. Minuten vorher in der Vorlesung berechnet Prof. Schuller die Mangelindizes $d_{\pm}$. Die Kerne von$P^{\ast}\pm i$sind jeweils durch exponentiell steigende/fallende Funktionen gegeben. Auf einer halben Linie$\mathbb{R}_{+}$genau eine dieser Exponentialfunktionen ist nicht quadratintegrierbar, so dass die beiden Mangelindizes$d_{\pm}$anders wird und keine selbstadjungierte Erweiterung existiert.

2. Andererseits hat ein physikalisches Labor/Experiment in der Praxis einen endlichen Umfang, so dass ein realistischeres mathematisches Modell durch ein kompaktes Intervall gegeben ist$I=[a,b]$, wobei die beiden Mangelindizes$d_{\pm}$übereinstimmen, und die selbstadjungierte Erweiterung existiert.

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Aus der Perspektive eines Mathematikers können Sie einen "Impuls" -Operator auf der Halblinie definieren, aber Sie müssen 2D-Vektorfunktionen anstelle von Skalarfunktionen zulassen. Das Problem ist diese Differenzierung$[0,\infty)$hat nur eine Endpunktbedingung bei$x=0$, und jede Einstellung (oder das Fehlen einer Einstellung) führt zu einem nicht selbstadjungierten Operator. Durch die Einführung einer 2-d-Impulsvariablen gibt es dann zwei Bedingungen und eine einparametrige Familie von Bedingungen, die der Verbindung der beiden komplexen Komponenten at entsprechen$0$durch einen Multiplikator$e^{i\theta}$. Ob so etwas physisch ist oder nicht, kann ich nicht beurteilen.