Interpretation einiger Domänenprobleme von (potenziellen) Impulsoperatoren

Question

Interpretation einiger Domänenprobleme von (potenziellen) Impulsoperatoren

Danu

Im Zusammenhang mit der mathematischen Quantenmechanik sagt uns ein bekanntes No-Go-Theorem namens Hellinger-Töplitz , dass ein unbegrenzter, symmetrischer Operator nicht überall auf dem Hilbert-Raum definiert werden kann $\mathcal H$ . Daher müssen wir für viele Operatoren, die an der Quantenmechanik interessiert sind, darauf zurückgreifen, den Bereich einzuschränken, auf dem sie agieren können. Zusammen mit dem Hamiltonoperator der Impulsoperator

p := - ich \frac{d}{d x}

$p:=-i\frac{\rm d}{\mathrm{d}x}$ ist das prominenteste Beispiel für einen solchen Operator. Eine der wichtigsten Fragen ist nun eindeutig: Was ist der richtige Definitionsbereich für den Impulsoperator?

Um diese Frage zu beantworten, ist es von entscheidender Bedeutung, die Frage der Selbstadjungiertheit zu betrachten: Als Observablen der Theorie sind nur selbstadjungierte Operatoren zulässig, und es gibt bestimmte wichtige mathematische Ergebnisse, wie das Spektraltheorem und das Theorem von Stone , die deutlich machen, dass jeder „gute“ Impulsoperator selbstadjungiert sein muss: $p^\star= p$ . Die ursprüngliche Frage wird also etwas verfeinert: Was ist die richtige Domain? $\mathcal D( p)\subset \mathcal H$ die es uns erlaubt, einen selbstadjungierten Impulsoperator zu konstruieren?

Kürzlich behandelte einer meiner Dozenten eine konkrete Inkarnation dieser (allgemeinen und möglicherweise vagen) Frage: Betrachten Sie einen Hilbert-Raum $\mathcal H=L^2(0,1)$ und zwei 'Kandidatenmomente', $p_0$ und $p_\alpha$ , mit Domänen

D (p_{0}) = {ψ \in H | ψ \in AC (0, 1), ψ^{'} \in H, ψ (0) = 0 = ψ (1)}

$\mathcal D(p_0)=\{\psi\in \mathcal H \,|\, \psi\in \text{AC}(0,1),\psi'\in\mathcal H, \psi(0)=0=\psi(1)\}$

D (p_{a}) = {ψ \in H | ψ \in AC (0, 1), ψ^{'} \in H, ψ (0) = a ψ (1)}, | a | = 1

$\mathcal D(p_\alpha)=\{\psi\in \mathcal H \,|\, \psi\in \text{AC}(0,1),\psi'\in\mathcal H, \psi(0)=\alpha\psi(1)\},\hspace{.5cm}|\alpha|=1$ Sind diese Operatoren selbstadjungiert? Wie sich herausstellt, kann das gezeigt werden

p_{0}

$p_0$ ist symmetrisch, aber nicht selbstadjungiert. Jedoch,

p_{α}

$p_\alpha$ ist selbstadjungiert. Es scheint, dass die Domäne von

p_{0}

$p_0$ es ist zu klein'.

Nun meine Frage: Was bedeutet das Fazit $p_0\neq p_0^\star$ implizieren für das kanonische QM-Beispiel für Neulinge den unendlichen Potenzialbrunnen? Soweit mir bekannt ist, ist es üblich, genau die Randbedingungen zu nehmen, die wir annehmen, um den Definitionsbereich von zu definieren $p_0$ bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung in diesem Fall. Können wir schlussfolgern, dass der Begriff des Impulses in diesem elementaren Beispiel nicht streng definiert werden kann? Oder müssen wir zumindest einige zugeben $\psi$ die nichtphysikalischen Randbedingungen gehorchen?

Für Interessierte ist dies eine verwandte Frage , die auch Domänenprobleme von Momentum-Operatoren berührt.

jjcale

Selbst für ein freies Teilchen ist der Definitionsbereich des Impulsoperators größer als der Definitionsbereich des Hamiltonoperators. So

p_{1}

$p_1$ könnte der richtige Impulsoperator sein, aber ich habe noch kein gutes Argument dafür gefunden.

Danu

@jjcale Ich denke, dieser Punkt wird auch in der Antwort von Yuggib angesprochen

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Interpretation einiger Domänenprobleme von (potenziellen) Impulsoperatoren

Selbst für ein freies Teilchen ist der Definitionsbereich des Impulsoperators größer als der Definitionsbereich des Hamiltonoperators. So $p_1$ könnte der richtige Impulsoperator sein, aber ich habe noch kein gutes Argument dafür gefunden.
@jjcale Ich denke, dieser Punkt wird auch in der Antwort von Yuggib angesprochen

Mateus Sampaio · Answer 1

Obwohl wir den Impuls als selbstadjungierten Operator in definieren können $L^2[0,1]$ Wie Sie vorgeschlagen haben, halte ich es für ziemlich künstlich, darüber nachzudenken, dass es im Fall von eine Beziehung zur Dynamik hat $L^2(\Bbb{R})$ . Erkenne, dass der Betreiber $p_1$ mit Domäne $D(p_1)=\{\psi\in\mathcal{H}^1[0,1]\,|\,\psi(1)=\psi(0)\}$ , bezieht sich über die Einheitsgruppe auf räumliche Übersetzungen $U(t)=\exp(-itp_1)$ , dessen Aktion ist

(U (t) ψ) (x) = ψ [x - t (Mod 1)],

$(U(t)\psi)(x)=\psi[x-t\pmod{1}],$ es geht also um ein Teilchen in einem Torus, nicht in einem unendlichen quadratischen Brunnen. Unterschiedliche Werte von

α

$\alpha$ , geben Sie der Wellenfunktion einfach verschiedene Phasen, wenn sie die Grenze erreicht und auf die andere Seite geht.

Meiner Meinung nach haben diese Operatoren also nicht wirklich mit dem Momentum zu tun, wie es normalerweise angenommen wird. Die Idee eines unendlichen quadratischen Brunnens erlaubt keine räumlichen Übersetzungen, daher gibt es in diesem Fall keinen selbstadjungierten Operator, der einer einheitlichen Übersetzungsgruppe zugeordnet ist. Dies geschieht beispielsweise bei einem Teilchen in der positiven reellen Linie $\Bbb{R}_+$ . In diesem Fall der Raum $L^2[0,\infty)$ erlaubt nur Übersetzungen nach rechts, nicht nach links, sodass Sie keinen selbstadjungierten Operator mit einer einheitlichen Gruppe von Übersetzungen verknüpfen können. In diesem Fall der Betreiber $p=-i\dfrac{d}{dx}$ hat keine selbstadjungierten Erweiterungen für eine beliebige Anfangsdomäne, obwohl sie symmetrisch ist. Für ein Teilchen in einer Kiste können wir genauso denken. Räumlichen Übersetzungen ist kein Operator zugeordnet, da keine räumlichen Übersetzungen zulässig sind.

Es ist auch wichtig zu beachten, dass der Hamiltonian $H$ in diesem Fall wird durch die Friedrich-Erweiterung von angegeben

p_{0}^{2} = - \frac{d^{2}}{d x^{2}} D (p_{0}^{2}) = {ψ \in H^{2} [0, 1] | ψ (0) = ψ^{'} (0) = 0 = ψ^{'} (1) = ψ (1)}

$p_0^2=-\frac{d^2}{dx^2}\\ \mathcal{D}(p_0^2)=\{\psi\in\mathcal{H}^2[0,1]\,|\,\psi(0)=\psi'(0)=0=\psi'(1)=\psi(1)\}$

H

$H$ kann nicht das Quadrat von irgendetwas sein

p_{α}

$p_\alpha$ , da die Domänen nicht übereinstimmen.

Bearbeiten: Wie von @jjcale hervorgehoben, sollte eine Möglichkeit, in diesem Fall den Schwung zu nehmen, sein $p=\sqrt{H}$ , aber klar, die Aktion $p$ kann keine Ableitung sein, weil es die gleichen Eigenfunktionen von hat $H$ , die von der Form sind $\psi_k(x)=\sin \pi kx$ . Dies verdeutlicht die Tatsache, dass es sich nicht um räumliche Übersetzungen handelt, wie oben angegeben.

Bearbeiten 2: Es gibt einen Beweis dafür, dass die Friedrich-Erweiterung diejenige mit Dirichilet-Randbedingungen in Simons Band ist. II, Abschnitt X.3.

Die durch das Spektraltheorem definierten Bereiche sind in der Tat $\{\psi: p_\alpha\psi\in\mathcal{D}(p_\alpha)\}$ . Um dies zu sehen, machen Sie sich klar, dass wir in diesem Fall, da das Spektrum rein punktförmig ist, nach dem Spektraltheorem haben

p_{a} = \sum_{n \in Z} λ_{a, n} P_{n},

$p_\alpha=\sum_{n\in \Bbb{Z}}\lambda_{\alpha,n}P_n,$ wo

λ_{α, n}

$\lambda_{\alpha,n}$ sind die den normalisierten Eigenvektoren zugeordneten Eigenwerte

ψ_{α, n}

$\psi_{\alpha,n}$ , und

P_{n} = ψ_{n} ⟨ ψ_{n}, \cdot ⟩

$P_n=\psi_n\langle\psi_n,\cdot\rangle$ sind die Projektionen in jedem Eigenraum. Die Domäne

D (p_{α})

$\mathcal{D}(p_\alpha)$ ist dann durch die Vektoren gegeben

ξ

$\xi$ , so dass

\sum_{n \in Z} | λ_{a, n} |^{2} “ P_{n} ξ “^{2} = \sum_{n \in Z} | λ_{a, n} |^{2} | ⟨ ψ_{n}, ξ ⟩ |^{2} < + \infty

$\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2\|P_n\xi\|^2=\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2|\langle\psi_n,\xi\rangle|^2<+\infty$ Ebenfalls,

ξ \in D (p_{α}^{2})

$\xi\in\mathcal{D}(p_\alpha^2)$ iff

\sum_{n \in Z} | λ_{a, n} |^{4} “ P_{n} ξ “^{2} = \sum_{n \in Z} | λ_{a, n} |^{4} | ⟨ ψ_{n}, ξ ⟩ |^{2} < + \infty

$\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^4\|P_n\xi\|^2=\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^4|\langle\psi_n,\xi\rangle|^2<+\infty$ Aber dann,

p_{α} ξ

$p_\alpha\xi$ ist derart

\sum_{n \in Z} | λ_{a, n} |^{2} “ P_{n} p_{a} ξ “^{2} = \sum_{n \in Z} | λ_{a, n} |^{2} | ⟨ ψ_{n}, p_{a} ξ ⟩ |^{2} = \sum_{n \in Z} | λ_{a, n} |^{2} | ⟨ p_{a} ψ_{n}, ξ ⟩ |^{2} = \sum_{n \in Z} | λ_{a, n} |^{4} | ⟨ ψ_{n}, ξ ⟩ |^{2} < + \infty

$\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2\|P_np_\alpha\xi\|^2=\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2|\langle\psi_n,p_\alpha\xi\rangle|^2= \sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2|\langle p_\alpha\psi_n,\xi\rangle|^2= \sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^4|\langle\psi_n,\xi\rangle|^2<+\infty$ So,

D (p_{α}^{2}) = {ψ : p_{α} ψ \in D (p_{α})}

$\mathcal{D}(p_\alpha^2)= \{\psi: p_\alpha\psi\in\mathcal{D}(p_\alpha)\}$ .

Der letzte Teil ist nicht präzise. Warum wählen Sie den Hamiltonian als Friedrichs Erweiterung von $p_0^2$ ? Dies scheint nicht die beste Wahl zu sein, und es ist nur eine mögliche Wahl. Wie auch immer, die Domain dieser Erweiterung ist in der Domain von any enthalten $H_\alpha=p_\alpha^2$ (definiert durch Funktionskalkül).
Nein, es ist in keiner Erweiterung. Selbstadjungierte Operatoren lassen keine echten Erweiterungen zu. Die Domäne der Friedrich-Erweiterung $H_F$ wird sein $\mathcal{D}(H_F)=\{\psi \in \mathcal{H}^2[0,1]:\psi(0)=\psi(1)=0\}$ . Die Domäne von $H_\alpha$ Bedingungen in die Ableitungen der Funktionen setzen und den oben genannten Definitionsbereich nicht enthalten. Zum Beispiel, wenn $\alpha=1$ , haben wir periodische Zustände in $\psi$ und $\psi'$ . Die oben zitierte Wahl ist die natürliche für Dirichilet-Randbedingungen, was für den unendlichen Brunnen erwartet wird.
Ich glaube, Sie machen einen Fehler. Das $p_0^2$ Sie geschrieben haben, ist kein selbstadjungierter Operator (da $p_0$ ist nicht selbstadjungiert); es ist ein positiver symmetrischer dicht definierter Operator (on $D(p_0^2)$ ), daher hat es eine Friedrichs-Erweiterung, $H_F$ . Jedoch $H_F$ ist nicht die einzige Erweiterung, es gibt unendlich viele Erweiterungen (zB $H_\alpha$ ). Der Definitionsbereich jeder der Erweiterungen ist größer als der Definitionsbereich der Friedrichs-Erweiterung (es ist ein Theorem, siehe zB hier ).
Ich weiß, dass es nicht die einzige Erweiterung ist, aber es ist tatsächlich die einzige, die Dirichilet-Randbedingungen hat. Es kann keine Erweiterungen mit einer größeren Domain als der Friedrich-Erweiterung geben. Selbstadjungierte Operatoren lassen keine Erweiterungen zu. Der von dir gepostete Link sagt nichts darüber aus. Was Sie vielleicht sagen, bezieht sich auf den Formbereich , der in der Tat der kleinste für niedriger begrenzte symmetrische Operatoren ist. Erkenne zum Beispiel, dass die Eigenfunktion, $\psi_1=\sin \pi x$ ist nicht in der Domäne von irgendjemandem $H_1$ , seit $p_1\psi_k \notin \mathcal{D}(p_1)$ . Ebenfalls $\psi_2 \notin \mathcal{D}(H_{-1})$ .
Die Operatordomäne ist in der Formulardomäne enthalten, und ich habe nicht gesagt, dass die anderen Erweiterungen die Friedrichs-Erweiterung enthalten, sondern einfach, dass sie in einer Domäne definiert sind, die in gewissem Sinne größer ist (weil sie in einem größeren Formular enthalten ist Domain). Abgesehen davon, dass Sie beweisen müssen, dass die Friedrichs-Erweiterung die von Ihnen beanspruchte Domain hat (und ich wäre neugierig auf einen solchen Beweis), sagt Ihnen das nichts über die anderen Domains $D(H_\alpha)$ durch das Spektraltheorem definiert (sie sind nicht einfach $\{\psi,p_\alpha\psi\in D(p_\alpha)\}$ ).
Habe eine Bearbeitung bezüglich des Kommentars vorgenommen.

yuggib · Answer 2

Die Tatsache, dass $D(p_0)$ nicht groß genug ist, um einen selbstadjungierten Operator zu definieren, bedeutet nicht, dass er nicht in den Bereich des selbstadjungierten Impulses eingeschlossen ist. Die Wahl der Randbedingungen für die Funktion ist eine Spezifikation des Vektors, nicht des Operators.

Sobald Sie die in Betracht gezogene selbstadjungierte Erweiterung festgelegt haben (durch Auswahl der richtigen Domäne, normalerweise mit wesentlicher Selbstadjungiertheit), können Sie jeden Zustand in der Domäne annehmen, um den Operator anzuwenden $p$ . Um die Schrödinger-Gleichung zu untersuchen, benötigen Sie offensichtlich einen Vektor im Bereich des Hamilton-Operators, nicht des Impulses (und es gibt Vektoren darin $D(p_0)$ , oder auch $D(p_\alpha)$ , das gehört nicht in die Domäne des Hamiltonian ;-) )

Das Problem im Allgemeinen ist, dass der Abschluss eines Operators in der Graphtopologie verwendet wird, und das ist nicht sehr explizit, also müssen Sie vorsichtig sein und sicherstellen, dass Sie mit dem richtigen Abschluss enden, der nicht zu klein sein darf gleich dem Definitionsbereich des Adjunkten sein.

Guter Punkt. Ich habe meine Frage unter Berücksichtigung Ihrer Antwort leicht aktualisiert. Die verbleibende Frage ist im Wesentlichen: Müssen wir Nicht-Physisches zulassen? $\psi$ um Momentum richtig zu definieren? Vielleicht wird dies jedoch bereits in Ihrem zweiten Absatz angesprochen.
Wie ich es sehe: Physikalisch wollen Sie Zustände, die an den Grenzen eine Nullwahrscheinlichkeit haben (oder zumindest symmetrische Randbedingungen haben). Auf der anderen Seite benötigen Sie eine Hilbert-Raumstruktur, um QM durchzuführen, also müssen Sie das Ganze betrachten $L^2(0,1)$ . Hier betrifft das Problem der Randbedingungen die Bereiche der Operatoren; nichtsdestotrotz, sobald ein (selbstadjungierter) Operator festgelegt ist (dh wir legen seine Aktion und seinen Definitionsbereich fest), ist es in Ordnung. Dann können Sie als physikalisch nur Zustände mit den gewünschten Randbedingungen betrachten, aber im Prinzip kann die Aktion eines Operators Sie in einen Zustand versetzen ...

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