Können Eigenzustände eines Hilbert-Raums als Delta-Funktionen betrachtet werden?

Aber können die Eigenzustände der Ortsobservablen einzeln als Deltafunktionen gedacht werden?

Ja, sie können in gewissem Sinne, aber es ist ziemlich ungenau. Erstens sind Kets und Funktionen (Verteilungen) etwas unterschiedliche Dinge, obwohl sie die meisten ihrer Eigenschaften gemeinsam haben. Wenn die ket$|x'\rangle$erfüllt

$$\hat{x} |x'\rangle = x' |x'\rangle,$$ dann sagen wir, dass dieser Ket verallgemeinerter Eigenvektor des Operators ist $\hat x$.

Dieses Ket kann im Raum der Verteilungen auf Koordinaten dargestellt werden$x$durch Delta-Verteilung befindet sich in$x'$, da im distributiven Sinn

$$x \delta(x-x') = x'\delta(x-x'),$$ die die gleiche Struktur wie die obige Gleichung hat. Der Unterschied zwischen diesen beiden Gleichungen besteht darin, dass die erste ohne Verwendung einer speziellen Koordinate angegeben wird; weder $x$, noch $p$wird eingesetzt. Die zweite verwendete Koordinate $x$. Kets und Distributionen sind also nicht dasselbe; Die Kets können als "koordinatenfreie" Notation für die Verteilungen angesehen werden.

Kurze Anmerkung zur Verwendung des Wortes "Eigenzustand" in diesem Zusammenhang: Die Delta-Verteilung ist nicht normierbar und gehört somit nicht zu den Verteilungen, die den physikalischen Zustand im Sinne der Born-Interpretation beschreiben. Es ist also nicht sehr gut, es oder das entsprechende Ket zu nennen$|x'\rangle$ein Eigenzustand des Positionsoperators. Es ist besser, es "uneigentliche Eigenfunktion" oder "uneigentlicher Eigenvektor" zu nennen.

Würde dies nicht auch bedeuten, dass wir unendlich viele Eigenzustände von Deltafunktionen im beobachtbaren Raum haben?

Es gibt eine unendliche Anzahl unterschiedlicher Delta-Verteilungen, die definiert sind$x$. Aber sie sind keine "Staaten"; sie gehören nicht zum Hilbertraum$L^2(R)$.

Gehe generell davon aus$\mathcal{H}$ist ein separabler Hilbert-Raum und das$A:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ist ein linearer Operator. Der Hilbertraum$\mathcal{H}$trennbar ist, lässt eine abzählbare Basis zu, die wir schreiben können$\eta_i$mit$i\in\mathbb{Z}$(Das sind nicht unbedingt die$\delta$Funktionen, von denen Sie sprechen, aber$\mathcal{H}$trennbar ist isomorph zu$\ell^2(\mathbb{Z})$, in diesem Fall jeweils$\eta_i$abgebildet werden können$\delta_j\in\ell^2(\mathbb{Z})$, Wo$\delta_j$,$j\in \mathbb{Z}$, sind ehrlich$\delta$Funktionen.

Nehmen Sie das jetzt an$A$Eigenvektoren zulässt$e_j\in \mathcal{H}$,$j\in\mathbb{Z}$, so dass das Folgende erfüllt ist.

1)$\{e_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$sind linear unabhängig (in dem Sinne, dass jede endliche Teilmenge eine Menge linear unabhängiger Vektoren bildet.

2)$\{e_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$ist vollständig in dem Sinne, dass die Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus$\{e_j\}$bildet eine dichte Teilmenge von$\mathcal{H}$.

Dann sehen wir das$\{e_j\}$bildet eine vollständige Basis von$\mathcal{H}$. Nach jeder Normalisierung$e_j$(oder wir können davon ausgehen, dass sie bereits normalisiert wurden) können wir nun alles einheitlich abbilden$\ell^2(\mathbb{Z})$, durch Zuordnung$e_j$auf zu$\delta_j$. Dies ist nur dann möglich, wenn die Bedingungen (1) und (2) erfüllt sind.

Mit anderen Worten: Jeder lineare Operator auf einem separierbaren Hilbertraum lässt sich unitär auf einen Operator auf abbilden$\ell^2(\mathbb{Z})$. Wenn der Operator in diesem Fall einen Satz von Eigenvektoren zulässt, der eine vollständige Basis bildet, dann kann dieser Satz auf ehrliche Delta-Funktionen von abgebildet werden$\ell^2(\mathbb{Z})$.

Wenn Bedingung (2) gelockert wird, kann man natürlich stattdessen einen Unterraum des ursprünglichen Hilbert-Raums betrachten, der den Abschluss der Menge aller endlichen Linearkombinationen der Eigenvektoren darstellt. Der Operator müsste auch begrenzt (äquivalent stetig) sein, um von einer dichten Teilmenge zu ihrem Abschluss zu gelangen.

Okay, also ein allgemein beobachtbares Handeln$|x\rangle$wird es dir nicht geben$x' |x\rangle$. Nur der Positionsoperator, der auf den Zustand einwirkt$|x'\rangle$wird uns geben$x'|x'\rangle$, wobei das x' eine Bezeichnung für den Zustand ist, stellen Sie es sich als Zahl und nicht als Variable vor. Nur weil der Staat$|x'\rangle$ein Eigenzustand des Positionsoperators ist, bedeutet dies nicht, dass er notwendigerweise ein Eigenzustand irgendeines anderen allgemeinen Operators ist.

$|x'\rangle$ein Zustand ist, wollen wir, dass es ein Ortseigenzustand ist. Das heißt, wenn ich ein Teilchen im Zustand habe$|x'\rangle$, dann sieht die als Funktion der Position geschriebene Wellenfunktion besser wie eine Deltafunktion um den Punkt aus$x'$. Aber denken Sie daran, dass ich die Wellenfunktion auch als Funktion des Impulses oder eines anderen Operators schreiben könnte. Die Aussage

$$\langle y|x \rangle = \delta(x-y)$$

sagt genau das. Nachdenken über$\langle y|$als Funktion, die einen Vektor aufnimmt und Ihnen eine Zahl gibt, ist diese Zahl der Wert der Wellenfunktion des Zustands, der durch dargestellt wird$|x'\rangle$geschrieben als Funktion der Position an dem Punkt$x'$.

Wenn wir uns den Raum als stetig vorstellen wollen, dann müssen wir jeden Punkt als Eigenzustand des Positionsoperators bezeichnen. So wie es in der klassischen Physik unendlich viele Punkte im Raum gibt, gibt es in der Quantenmechanik unendlich viele Deltafunktions-Eigenzustände des Positionsoperators. Aber in der Quantenmechanik denkt man an die Funktion$y(x)$stattdessen in Bezug auf Vektoren, so dass notational

$$y(x) = \langle y | x \rangle .$$

Richtig, deshalb können wir die Dirac-Notation verwenden, um über Funktionen zu sprechen.