Manipulierter Hilbert-Raum und QM

Ich kenne keine Bücher, die ausschließlich diese Sprache verwenden, aber die Grundidee ist ziemlich einfach:

Alle Hilbert-Räume sind isomorph (wenn ihre Dimensionen übereinstimmen). Dies würde konzeptionelle Probleme in der Quantenmechanik aufwerfen, wenn wir jemals nur über den Hilbert-Raum sprechen würden; wie könnten wir sie unterscheiden? Aber es ist in Ordnung, weil wir eigentlich an einem Hilbert-Raum interessiert sind$\mathcal{H}$ausgestattet mit einer Algebra von Operatoren$\mathcal{A}$.

Zum Beispiel der wirkliche Unterschied zwischen$\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})$und$\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^3)$: Wenn wir über Ersteres sprechen, sprechen wir über$L^2(\mathbb{R})$mit der natürlichen Aktion der 1d Heisenberg-Algebra$\mathcal{A}_1$(erzeugt von$P$und$Q$so dass$[Q,P] = i\hbar$). Wenn wir über Letzteres sprechen, sprechen wir über den Hilbert-Raum mit der natürlichen Aktion der 3D -Heisenberg-Algebra$\mathcal{A}_3$.

Keine Algebra wirkt tatsächlich auf die Gesamtheit$\mathcal{H}$.$(Q\psi)(x)= x\psi(x)$liegt nicht unbedingt drin$L^2$. Ebenso die Aktion des Differenzierungsoperators$P = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$auf einem Vektor$v \in \mathcal{H}$ist nicht definiert wenn$v$ist keine differenzierbare Funktion. Und$P^2$ist nur auf zweimal differenzierbaren Funktionen definiert. Es gibt jedoch einige Funktionen, auf die die Einwirkung keiner Kraft ausübt$P^nQ^m$ist definiert: Wenn$v$und alle seine Ableitungen verschwinden im Unendlichen schneller als jedes Polynom, die Wirkung irgendeines Elements von$\mathcal{A}_1$ist definiert. Ebenfalls,$\mathcal{A}_3$wirkt wirklich am Set$\mathcal{S}$von Funktionen in$L^2(\mathbb{R}^3)$deren partielle Ableitungen alle schnell genug im Unendlichen verschwinden.

Im Allgemeinen, wenn Sie einen Hilbert-Raum und eine Algebra haben$\mathcal{A}$von Operatoren mit kontinuierlichem Spektrum gibt es einen maximalen Unterraum$\mathcal{S} \subset \mathcal{H}$auf welche$\mathcal{A}$handelt. Dies ist der Unterraum von$v \in \mathcal{H}$wofür$av$definiert ist und$||a v|| < \infty$für alle$a \in \mathcal{A}$. Er wird als Raum glatter Vektoren für bezeichnet$\mathcal{A}$. (Übung:$\mathcal{S}$ist dicht drin$\mathcal{H}$.)

$\mathcal{S}$erhält eine Topologie aus einem Unterraum von$\mathcal{H}$, aber es hat tatsächlich eine viel stärkere Topologie aus der Familie der Seminormen$v \mapsto ||a v||$(zum$a \in \mathcal{A}$). Diese Topologie macht ihn zu einem nuklearen Vektorraum.

Gegeben$\mathcal{S} \subset \mathcal{H}$, können Sie den Raum konstruieren$\mathcal{S}^* \supset \mathcal{H}$stetiger (bzgl. der Kerntopologie) komplex-linearer linearer Funktionale auf$\mathcal{S}$. (Hier verwenden wir den Riesz-Darstellungssatz, um zu identifizieren$\mathcal{H}$mit seinem Dual$\mathcal{H}^*$.) Dieser Raum sollte im Sinne von Dirac bra-ket als der Raum der BHs betrachtet werden. Der BH $\langle x |$ist die lineare Funktion, die abbildet$\psi \in \mathcal{S}$zu$\psi(x) =\langle x | \psi \rangle$, auch bekannt als die Dirac-Delta-Funktion$\delta_x$mit Unterstützung bei$x$. (Der Raum der Kets ist der konjugierte Raum, der aus konjugiert-linearen Funktionalen besteht$\mathcal{S}$. Der Ket$|x \rangle$bildet einen Zustand ab$\psi \in \mathcal{S}$zu$\psi^*(x) = \langle \psi| x\rangle$.)

Dieser Raum$\mathcal{S}$ist eine Überlegung wert, weil es der Idee, dass Elemente von eine strenge Bedeutung verleihen$\mathcal{A}$mit kontinuierlichem Spektrum Eigenvektoren haben und dass Sie einige Zustände in diesen Eigenbasen erweitern können. Die Elemente der Algebra$\mathcal{A}$kann keine Eigenvektoren enthalten$\mathcal{H}$wenn sie ein kontinuierliches Spektrum haben. Aber sie haben Eigenvektoren im Raum der BHs. Die Definition ist ein Standard-Erweiterung-durch-Dualität-Trick:$v \in \mathcal{S}^*$ist ein Eigenvektor von$a \in \mathcal{A}$mit Eigenwert$\lambda$wenn$(av)(\psi) = \lambda v(a^*\psi)$für alle$\psi \in \mathcal{S}$. (Übung:$\langle x|$ist das Eigenbra mit Eigenwerten$x$des Positionsoperators$Q$.)

Das Drilling$(\mathcal{S}, \mathcal{H}, \mathcal{S}^*)$ist ein manipulierter Hilbertraum. Die Sprache der manipulierten Hilbert-Räume wurde erfunden, um die Ideen zu erfassen, die ich oben skizziert habe: die glatten Vektoren einer Algebra von Operatoren mit kontinuierlichem Spektrum und der duale Vektorraum, in dem die Eigenbasen dieser Operatoren leben. Die Sprache passt eigentlich sehr gut zur Physik – insbesondere zum Klammerformalismus – aber sie bietet ein Maß an Genauigkeit, das für die meisten Berechnungen nicht wirklich notwendig ist (z. B. mit Fließkommaarithmetik).

In der Literatur gibt es nicht allzu viele Beispiele für manipulierte Hilbert-Räume, die ausführlich behandelt werden. Ich habe vor, einen Artikel über die manipulierte Hilbert-Raum-Annäherung an das Schrödinger-Wasserstoffatom zu schreiben. Sie können die Doktorarbeit von Rafael de la Madrid ( http://galaxy.cs.lamar.edu/~rafaelm/dissertation.html ) und alle Artikel hier verwenden: https://scholar.google.com/citations?user =OqTextTYAAAAJ&hl=de