Eigenvektoren von pxpxp_x in einem bestimmten Bereich

Definieren der$p_x$Operator für das Teilchenproblem in einem unendlichen Brunnen. In dem Buch von Capri über die Quantenmechanik ist die Domäne des Operators gegeben durch:

$$p = -i\hbar \frac{\partial }{\partial x} \\ D_p = \big\{f(x),f'(x)\in \mathrm{L_2}(0,L) , f(0) = f(L) = 0 \big\}$$ Dann geht er später zu definieren, $p^{\dagger}$die einen größeren Definitionsbereich (Warum ?) oder eher allgemeinere Bedingungen für die Funktionen hat, die durch gegeben sind, $$f(0) = \text e^{i\theta}f(L)$$ für die Domäne $D_{p^{\dagger}}$.

Meine Frage betrifft die Tatsache, ob ich die Domain gewählt habe$D_p$(im Moment wenn man das bedenkt$p$ist nicht selbstadjungiert, dh$D_p \ne D_{p^{\dagger}}$sondern eher$D_p \subset D_{p^{\dagger}}$), dann gibt es keine Eigenfunktionen für$p$Operator als solcher, denn wenn es einen gegeben hätte, müsste er trivialerweise null sein. Da für eine Eigenfunktion$A \text e^{ikx}$Null sein bei$x=0$,$A$muss null sein.

Wie kann man also diese Tatsache ansprechen, dass es keine Eigenfunktion für gibt?$p$Operator in dem Fall, wenn es nicht selbstadjungiert ist ?

Gibt es auch einen Satz über die Existenz von Eigenvektoren für einen Operator?