Im Moment bin ich etwas verwirrt über die Notation in einigen QM-Lehrbüchern. Einige sagen, dass die Operatoren symmetrisch sein sollten, andere sagen, dass sie im Wesentlichen selbstadjungiert sein sollten, andere, dass sie selbstadjungiert sein müssen (oder in vielen Fällen hermitesch, was vielleicht symmetrisch oder vielleicht selbstadjungiert bedeutet). Welche Bedingung brauchen wir für unsere Observablen (weil sie im Fall eines unendlichdimensionalen Hilbertraums nicht gleich sind)?
Wenn symmetrisch oder im Wesentlichen selbstadjungiert ausreicht, warum können wir dann eine orthonormale Basis von Eigenvektoren finden (da der Spektralsatz nur für selbstadjungierte Operatoren gilt)?
Der Grund, warum wir Selbstadjungiertheit für Observablen brauchen, ist hauptsächlich, dass wir verlangen, dass ihr Spektrum real ist.
Die Charakterisierung des genauen Bereichs der Selbstadjungiertheit ist jedoch oft schwierig, während es einfacher ist, einige seiner Kerne zu charakterisieren. Daher ist die essentielle Selbstadjungiertheit auf einem gegebenen (normalerweise leicht charakterisierbaren) Kern hilfreich, da die selbstadjungierte Erweiterung dann eindeutig ist.
Symmetrische, aber nicht selbstadjungierte Operatoren haben möglicherweise kein echtes Spektrum, und außerdem erzeugen sie keine einheitlichen Gruppen von Operatoren, die Symmetrien physisch implementieren, wie es stattdessen selbstadjungierte Operatoren tun. Daher sind sie kein guter Kandidat, um körperlich relevant zu sein.
Zunächst einmal werden Sie aus praktischer / physikalischer Sicht sehen, dass es eigentlich keinen Unterschied macht, es sind nur mathematische Details. Aber ich verstehe den Wunsch nach einer mathematisch genau definierten Theorie.
Observablen müssen tatsächlich selbstadjungiert sein, und der Grund dafür ist - wie Sie vermutet haben - dass wir den Spektralsatz brauchen (siehe zB hier ).
Da ein im Wesentlichen selbstadjungierter Operator eine eindeutige selbstadjungierte Erweiterung hat, ist es eigentlich egal, ob wir einen selbstadjungierten Operator aufschreiben oder „nur“ einen im Wesentlichen selbstadjungierten.
In einer Physikvorlesung wird der Professor normalerweise nur den Impulsoperator als notieren
ohne Angabe eines Wertebereichs, und beweisen Sie, dass er symmetrisch ist, während Sie implizit annehmen, dass die Wellenfunktionen stetig differenzierbar sind oder ähnliches. Das Erklären des Problems der Domänen unbegrenzter Operatoren und das Einführen von Sobolev-Räumen usw. würde viel Zeit für wohl wenig Nutzen in Anspruch nehmen.
Die Eigenschaft wird dann "hermitesch" genannt, was im Sinne von "selbstadjungiert" verwendet zu werden scheint, aber wir kümmern uns nicht wirklich um die Details. (Hermitesch soll meines Wissens ursprünglich beschränkt selbstadjungiert bedeuten. Siehe auch hier .)
StrangeField
yuggib