Darstellung von Operatoren in der Quantenmechanik

Wenn der Hilbert-Raum des fraglichen Systems endlichdimensional ist, dann wird in einer gegebenen Basis für den Hilbert-Raum der Hamilton-Operator (und jede andere Beobachtbare für diese Angelegenheit) durch eine Matrix dargestellt.

Wenn der Hilbert-Raum unendlichdimensional ist, ist die Situation etwas anders. In der Quantenmechanik gehen wir typischerweise davon aus, dass die Hilbert-Räume, mit denen wir uns befassen, trennbar sind , was bedeutet, dass sie eine zählbare, orthonormale Basis zulassen. Die Darstellung des Hamilton-Operators in einer solchen Basis ist eine "Matrix", die "unendlich-dimensional" ist.

Betrachten wir zum Beispiel den harmonischen Quantenoszillator. Lassen$B = \{|n\rangle\}$bezeichnen die Energieeigenbasis wo$|n\rangle$ist der Energieeigenvektor mit Eigenwert$E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar\omega$, dann sieht der Hamiltonoperator in dieser Basis wie folgt aus:

$$\begin{align} [\hat H]_B = \begin{pmatrix} E_0 & & & \\ & E_1 & & \\ & & E_2 & \\ & & & \ddots\\ \end{pmatrix} \end{align}$$ Außerdem wird in dieser Basis auch der Impulsoperator als "unendlich-dimensionale" Matrix dargestellt. Erinnern Sie sich, dass der Impulsoperator wie folgt in Form von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren geschrieben werden kann: $$\begin{align} \hat p = i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\hat a^\dagger - \hat a) \end{align}$$ was gibt $$\begin{align} \langle m|\hat p|n\rangle &= i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\sqrt{n+1}\langle m|n+1\rangle - \sqrt{n}\langle m|n-1\rangle) \\ &= i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}(\sqrt{n+1}\delta_{m,n+1} - \sqrt{n}\delta_{m,n-1}) \end{align}$$ und wir können daher die ersten paar Einträge des in die Energie-Eigenbasis geschriebenen Impulsoperators leicht ausschreiben: $$\begin{align} [\hat p]_B = i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}\left( \begin{array}{ccccc} 0 & -1 & & & \\ 1 & 0 & -\sqrt{2} & & \\ & \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{3} & \\ & & \sqrt{3} & 0 & \ddots \\ & & & \ddots & \ddots \\ \end{array} \right) \end{align}$$ Andererseits kann jeder Zustand im Hilbertraum in die sogenannte Position geschrieben werden $\{|x\rangle\}$und Schwung $\{|p\rangle\}$"Basen." Dies sind streng genommen keine Basen des Hilbert-Raums, aber sie funktionieren ziemlich gleich in dem Sinne, dass ein gegebener Zustand als Integral über diese "kontinuierlichen" Basiselemente geschrieben werden kann, im Gegensatz zu Summen über "diskrete" Basen; $$\begin{align} |\psi\rangle &= \int_{\mathbb R}dx\psi(x)|x\rangle, \\ |\psi\rangle &= \int_{\mathbb R}dp\tilde\psi(p)|p\rangle \end{align}$$ In dieser Schreibweise entspricht jeder physikalische Zustand einer quadratintegrierbaren Funktion $\psi$in der Position Basis und $\tilde\psi$in der Impulsbasis. In diesen "Basen" werden die verschiedenen Observablen durch Multiplikations-/Differentialoperatoren auf einem Funktionenraum dargestellt. Insbesondere wird beispielsweise der Impulsoperator wie folgt dargestellt: $$\begin{align} (\hat p\psi)(x) &= \langle x|\hat p|\psi\rangle = \frac{\hbar}{i}\frac{d\psi}{dx}(x) \\ (\hat p\tilde\psi)(p) &= \langle p|\hat p|\psi\rangle = p\tilde \psi(p). \end{align}$$ Kurz gesagt, die Darstellung von Observablen, ob es sich um Matrix- oder Differentialoperatordarstellungen handelt, hängt von der Basis ab, auf der Sie sich entscheiden, sie darzustellen.