Warum können Operatoren in der Quantenmechanik als Matrizen dargestellt werden?

Auf einem endlichdimensionalen Vektorraum haben wir Basen, die aus endlich vielen Elementen bestehen:$\{e_1,...,e_n\}$, Wo$n$ist die Dimension des Raumes. Wenn$A$ist dann ein linearer Operator auf dem Raum$A(e_j)$ist ein Vektor für jeden zulässigen Wert von$j$, und als Vektor kann es auch in der Basis erweitert werden:

Wenn$v$ein beliebiger Vektor ist, kann er auch erweitert werden, wie$v=\sum_{j=1}^nv_je_j$. Dann$A(v)=A\left(\sum_jv_je_j\right)=\sum_jv_jA(e_j)=\sum_jA_{ij}v_je_i$, also die$i$te Komponente von$A(v)$Ist$\sum_jA_{ij}v_j$und dieser Ausdruck ist als Matrixprodukt zwischen darstellbar$n$von$n$quadratische Matrix, deren$ij$tes Element wenn$A_{ij}$und die Spaltenmatrix deren$j$tes Element ist$v_j$.

Aber das weißt du ja schon.

In der Quantenmechanik arbeiten wir an einem trennbaren Hilbert-Raum. Ein trennbarer Raum ist einer, der eine abzählbare dichte Teilmenge hat. Es kann gezeigt werden, dass ein Hilbert-Raum genau dann eine Orthonormalbasis zulässt, wenn er separabel ist. "Physische" Hilbert-Räume lassen also orthonormale Basen zu. Unter einer orthonormalen Basis in einem unendlichdimensionalen Hilbert-Raum verstehen wir eine abzählbare Menge$\{e_1,...,e_n,...\}\subset\mathcal{H}$, so dass$\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$und für jeden$x\in\mathcal{H}$, ist eine eindeutige Erweiterung als unendliche Reihe in der Form gegeben$x=\sum_{n=1}^\infty x_ie_i$.

Wenn ein Operator gegeben ist, können wir auf der unendlichen Orthonormalbasis dasselbe Verfahren durchführen wie im endlichen Fall, um eine unendliche Matrixdarstellung zu erhalten.

An dieser Stelle bin ich mir nicht sicher, ob eine solche Erweiterung streng nur für beschränkte Operatoren oder alle Arten von Operatoren möglich ist, aber selbst wenn sie auf beschränkte Operatoren beschränkt ist, ignorieren wir als gute Physiker normalerweise dieses Problem und gehen ohne große Probleme so vor die Operatoren waren beschränkt.