Zählbare Matrixdarstellung

Die Antwort von Luboš Motl hat moralisch korrekte Physik, obwohl es aufschlussreich sein kann, eine Illustration in Bezug auf die grundlegende Mathematik in der einführenden Quantenmechanik zu machen. Nehmen Sie als Beispiel ein spinloses Teilchen in einer Dimension.

Die Ortseigenzustände in der Ortsraumdarstellung erlauben es Ihnen formal , beliebige Funktionen zu bauen:

$$f(x) = \int c_{x'} \delta(x-x')\,\mathrm{d}x'\text{,}$$ und Sie haben unzählige Freiheiten bei der Angabe der unzähligen Koeffizienten $c_{x'}$. Der größte Teil dieser Freiheit ist jedoch illusorisch, denn die $L^2$Innenprodukt $$\langle f|g\rangle = \int f^*(x)g(x)\,\mathrm{d}x$$ ist nicht in der Lage, Funktionen zu unterscheiden, deren Differenz ein verschwindendes Normquadrat hat: $$||f-g||^2 = \langle f-g|f-g\rangle = 0\text{.}$$ Zwei beliebige Funktionen, die sich nur in einer endlichen oder zählbaren Menge unterscheiden, reichen aus, aber dies ist auch für Funktionen möglich, die sich in einer nicht zählbaren Menge unterscheiden – solange diese Menge das Maß Null hat.

Unter Verwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung kann man dies für ein solches Funktionspaar bei gegebenen beliebigen Funktionen leicht beweisen$h\in L^2$,$\langle f-g|h\rangle = 0$. Mit anderen Worten, ein solcher Unterschied kann unmöglich eine physikalische Bedeutung haben , da beide in jeder in der Quantenmechanik denkbaren Situation genau die gleichen Wahrscheinlichkeiten vorhersagen werden.

Wenn man auf der Mathematik besteht, trimmen wir den Raum der Funktionen auf den Raum der Äquivalenzklassen von Funktionen. Im Allgemeinen wollen wir nur "glatte genug" Funktionen, aber eigentlich reicht eine bloße Kontinuität (mit höchstens zählbar vielen Ausnahmen): Eine stetige Funktion wird durch ihre Werte auf den rationalen Zahlen oder auf jeder anderen zählbaren Menge bestimmt, die dicht in den reellen Zahlen ist.

Es gibt aber noch einen weiteren mathematischen Grund, warum wir von vornherein keinen Widerspruch erwarten sollten: Grundsätzlich ist die „kontinuierliche Basis“ von Dirac ein anderes Tier als die abzählbare „Schauder-Basis“, die Vektoren als Reihen bildet , und beide unterscheiden sich von der "Hamel-Basis", die man zuerst im linearen Algebra-Unterricht lernt, die Vektoren aus endlich vielen Elementen der Basis bildet. Es ist kein Problem, dass sie per se unterschiedliche Kardinalitäten haben, weil sie sehr unterschiedliche Dinge sind.

Insbesondere erfordert die Quantenmechanik, dass der komplexe Hilbert-Raum trennbar ist , was bedeutet, dass es eine zählbare orthonormale Schauder-Basis für einen unendlich dimensionalen Raum geben wird. Das meint Herr Motl, wenn er sagt, dass "alle unendlich dimensionalen Räume zueinander isomorph sind", weil wir einfach einen isometrischen Isomorphismus machen können, indem wir einfach die Vektoren in ihren jeweiligen Basen neu abbilden.

Damit hat er physikalisch völlig recht, obwohl es in der Mathematik komplexe Hilbert-Räume gibt, die nicht trennbar sind.

---

Diese Operatoren haben also eine unabzählbare Anzahl von Eigenfunktionen, die in eine abzählbare Anzahl von Äquivalenzklassen fallen?

Nicht ganz. Angenommen, Sie nehmen die Positions- und Impulsoperatoren. In der Ortsraumdarstellung sehen sie so aus$\delta(x-a)$Und$e^{ipx}$. Letzteres ist im Zusammenhang mit unserem Hilbert-Raum offensichtlich mathematisch seltsam, obwohl es sich physikalisch nur um eine gewöhnliche ebene Welle handelt - sie ist nicht normalisierbar und kann daher nicht Teil des eigentlichen Hilbert-Raums sein. Obwohl die Verwendung als Grundlage nur eine Fourier-Transformation anwendet, muss es sinnvoll sein, sie zu verwenden. Was Ersteres betrifft, so müssen Sie den Mathematikern glauben, wenn sie Ihnen sagen, dass das Dirac-Delta streng genommen nicht einmal eine Funktion ist, da Sie sich Sorgen um formale mathematische Probleme machen.

Ich möchte jedoch betonen, dass es sich um vollkommen gute Eigenzustände handelt und dass ihre Verwendung sinnvoll ist. Wir müssen nur mathematisch präziser sein, wenn wir formale mathematische Probleme wie Kardinalitäten entwirren wollen.

Lassen Sie uns also einen Blick in das Kaninchenloch der Funktionsanalyse werfen. Eine(n anti-)lineare Funktion ist eine(n anti-)lineare Abbildung zwischen den Vektoren im Hilbert-Raum auf ihren Körper, hier die komplexen Zahlen. Ein triviales Beispiel für beides: Pick a fixed$v\in\mathcal{H}$. Dann die Karte$w\mapsto\langle w|v\rangle$ist eine antilineare Funktion und die Karte$w\mapsto\langle v|w\rangle$ist eine lineare Funktion. Ein weiteres triviales Beispiel ist$\delta[f] = f(0)$, die offensichtlich linear ist ($\delta[\alpha f+\beta g] = \alpha\delta[f]+\beta\delta[g]$) und ergibt einen Skalar.

Alle Vektoren im Hilbertraum erzeugen also (anti)lineare Funktionale. Die Umkehrung ist nur teilweise wahr: Alle stetigen (anti)linearen Funktionale entsprechen nach dem Riesz-Darstellungssatz Vektoren. Wenn wir also formal sein wollen, sind Bras lineare Funktionale über unserem Hilbert-Raum und Kets sind antilineare Funktionale, und nur einige von ihnen entsprechen tatsächlich einem Vektor im Hilbert-Raum. Dies wird als Teil des Formalismus "manipulierter Hilbert-Raum" behandelt, den ich in den Kommentaren erwähnt habe.

Daher ist es überhaupt kein mathematisches Problem, eine unabzählbare stetige Basis zu haben und gleichzeitig eine abzählbare Schauder-Basis zu haben. Sie dienen demselben physikalischen Zweck, aber mathematisch gesehen sind sie einfach verschiedene Dinge: Die Schauder-Basis "lebt" direkt im Hilbert-Raum, aber die stetige Basis "lebt" im algebraischen Dual unseres Hilbert-Raums - es ist a Basis von Zuständen, die keine Vektoren, sondern nur Funktionale sein müssen.

Die zählbaren und nicht zählbaren Unendlichkeiten sind nach der Mengenlehre "unterschiedliche Kardinäle", aber in der Physik erzeugen die Basen dieser Größe gleich große Hilbert-Räume: Der Hilbert-Raum ist unendlich dimensional und alle unendlich dimensionalen Hilbert-Räume sind zueinander isomorph ( mit anderen Worten, es gibt nur "eine einheitliche Art von Unendlichkeit", wenn es um die Dimension eines Hilbert-Raums geht). Die Quantenmechanik bietet Ihnen unendlich viele Beispiele.

Das vielleicht einfachste Beispiel sind Fourier-Entwicklungen. Betrachten Sie ein Teilchen in einem unendlichen Brunnen, so dass die Wellenfunktion$\psi(x)$ist nur ungleich Null für$0\lt x \lt +\pi$. Der Betreiber$x$hat ein kontinuierliches Spektrum, dh eine unzählbare Anzahl von Eigenwerten und Eigenzuständen (die Basis von$x$-Eigenzustände ist unabzählbar).

Auf der anderen Seite der Betreiber$p^2 = -\hbar^2 \partial^2 / \partial x^2$hat ein diskretes Spektrum und eine abzählbare Menge von Eigenwerten und Eigenzuständen. Die Eigenzustände sind stehende Wellen$\sin (nx)$für positive ganze Zahl$n$und die Eigenwerte sind$n^2$.

Trotzdem ist jeder ("glatt genug" bzw$L^2$-normalisierbar etc.) Funktion$\psi(x)$das ist in diesem Intervall ungleich Null – jede Kombination von unabzählbar vielen Wellenfunktionen$\psi(x) = \delta(x-x_0)$– kann auch als Linearkombination der stehenden Wellen geschrieben werden,$\sin(nx)$. Diese Tatsache macht die Fourier-Reihe möglich. (Normalerweise würde ich über periodische Funktionen und komplexe Exponentialfunktionen sprechen, aber die Sinuskurven in einem Brunnen sind möglicherweise anfängerfreundlicher.)

Es ist eigentlich kein Widerspruch mit der unterschiedlichen Mächtigkeit der Mengen, weil die beiden Mengen die unabzählbare Basis von$x$Eigenzustände und die abzählbare Basis von$p^2$Eigenzustände, werden nicht über eine Eins-zu-eins-Abbildung identifiziert. Stattdessen ist die Abbildung zwischen einer Basis und der anderen eine allgemeine lineare Transformation, die sie mischt, und die unterschiedliche Kardinalität erlegt solchen linearen Transformationen unendlichdimensionaler Vektorräume keine Beschränkungen auf.

Ganz allgemein sind Kardinalzahlen (die Wissenschaft vom Unterscheiden vieler Typen) sowie die meisten anderen verwandten Ergebnisse der Mengenlehre (ich meine insbesondere die Sätze von Gödel) in der Physik völlig belanglos. Sie sind nur einige "Freizeit-Feinheiten" in der mathematischen Logik, und die Physik findet keine dieser Operationen relevant. Ein Physiker kann also modernste Stringtheorie betreiben und sie in allen Ecken der Physik interpretieren, ohne überhaupt zu „wissen“, dass die reellen Zahlen unabzählbar sind. Die Unabzählbarkeit ist unphysikalisch. Ein Physiker ist im Allgemeinen agnostisch in Bezug auf die Existenz reeller Zahlen, die nicht konstruiert werden können, in Bezug auf die Gültigkeit des Wahlaxioms und andere Probleme, die nicht operativ durch ein Experiment durchgeführt werden können. Die typische Reaktion eines Physikers ist, dass diese Fragen "

Diese Frage hängt etwas mit der Forschung zusammen, die ich früher gemacht habe, also dachte ich, ich würde meinen Senf dazu geben.

Wenn Sie eine Matrixdarstellung des Hamilton-Operators konstruieren, müssen Sie eine Basis auswählen. Normalerweise wäre dies eine abzählbare Basis, deren Elemente quadratisch integrierbar sind. Sie müssen sich darüber im Klaren sein, dass Sie, wenn Sie dies getan haben, die Wirksamkeit der gegebenen Matrixdarstellung eingeschränkt haben.

Als konkretes Beispiel könnte man sich überlegen, was passiert, wenn man die Lösungen des 1-D harmonischen Oszillators zugrunde legt (zB Hermite-Polynome mal Gauß). Ihre Basisfunktionen wären dann von der Form,

$$f_n(\xi) = H_n(\xi) e^{-\xi^2/2}.$$

Jetzt können Sie Matrixelemente für einen gegebenen Hamiltonoperator auf die übliche Weise konstruieren,

$$H_{n,m}=\langle{f_n \mid Hf_m}\rangle,$$

aber diese Matrixelemente codieren nur, was der Hamiltonoperator mit Funktionen macht, die durch Ihre gewählte Basis dargestellt werden können. In unserem speziellen Fall enthält die Spanne unserer Basisfunktionen nur quadratisch integrierbare Funktionen. Das bedeutet, dass wir diese speziellen Matrixelemente nicht verwenden können, um zu verstehen, wie der Hamilton-Operator die Dynamik von Zuständen freier Teilchen bestimmt (zumindest nicht ohne eine Art weiterer Modifikation).

Die Eigenwerte, die Sie aus dieser Art von Matrixdarstellungen erhalten, sind nur die Energien für die gebundenen Zustände. Wenn Sie versuchen, die kinetische Energiematrix in dieser Basis zu diagonalisieren, erhalten Sie Müll. Häufig haben numerische Methoden, die auf dieser Art von Ansatz basieren, Probleme nahe der Grenze der Kontinuumszustände und der diskreten Zustände.