Alastair Rae gibt an, dass es in seinem Text zu diesem Thema 4 Postulate der Quantenmechanik gibt. Der erste Teil seines zweiten Postulats kann wie folgt formuliert werden:
Jede dynamische Variable kann durch einen hermiteschen Operator dargestellt werden, dessen Eigenwerte das Ergebnis einer Messung des Wertes der dynamischen Variablen darstellen ...
Meine Frage ist: Wie viel können wir daraus ableiten, dass einige der an der Quantenmechanik beteiligten Operatoren hermitesch sind?
Wenn ich das Wort Hermitian benutze, beziehe ich mich auf die Eigenschaft, dass wo ist ein Operator und ist der Adjunkt von . Bedeutet ein hermitescher Operator automatisch, dass es Eigenfunktionen und Eigenwerte gibt, die diesem Operator entsprechen? Bedeutet hermitesch zu sein, dass, falls es Eigenfunktionen gibt, die diesem Operator entsprechen, sie eine vollständige und orthonormale Menge bilden? Dass jede Wellenfunktion nach diesen Eigenfunktionen entwickelt werden kann? Wie viel steckt in dem Wort „Hermitian“?
In dem Begriff Hermitesch verbergen sich eine Menge sehr wichtiger Informationen.
Für einen Betreiber auf einem endlichdimensionalen Hilbertraum , kann man zeigen, dass es eine orthonormale Basis für den Hilbert-Raum gibt, die aus Eigenvektoren des Operators besteht . Außerdem kann man zeigen, dass die diesen Eigenvektoren entsprechenden Eigenwerte alle reell sind. Dieses Ergebnis ist das endlichdimensionale Spektraltheorem . Die Tatsache, dass Eigenwerte hermitescher Operatoren reell sind, ist in der Quantenmechanik von entscheidender Bedeutung, da Eigenwerte von Observablen reellwertige, physikalisch messbare Größen darstellen sollen.
Wenn der Hilbert-Raum unendlichdimensional ist, dann ist das analoge Ergebnis, das auch als Spektraltheorem bezeichnet wird, schwieriger zu beweisen, und es müssen mehr technische Annahmen getroffen werden, da Probleme in Bezug auf Definitionsbereiche von Operatoren und so genannten auftreten unbegrenzte Operatoren usw. Insbesondere braucht man den Begriff eines selbstadjungierten Operators , der die unendlichdimensionale Erweiterung von hermitesch ist und sich im endlichdimensionalen Fall auf hermitesch reduziert. Ich möchte Sie ermutigen, sich den Wiki-Artikel zum Spektraltheorem anzusehen, den ich für weitere Informationen verlinkt habe.
Übrigens, der Zweig der Mathematik, der sich mit dem unendlichdimensionalen Fall befasst, ist die Funktionsanalyse .
Emilio Pisanty