Was genau impliziert die Notwendigkeit der Quantenmechanik für selbstadjungierte und nicht nur für symmetrische Operatoren? [Duplikat]

Wir wissen, dass die Quantenmechanik selbstadjungierte Operatoren erfordert, nicht nur symmetrische. Können wir sagen, dass dies NUR aus den beiden folgenden Axiomen der Quantenmechanik folgt, nämlich dass

  1. jeweils beobachtbar A entspricht einem linearen Operator A

Und

  1. ein Erwartungswert einer Messung von A muss echt sein

?

Ich dachte, diese beiden implizieren nur die Notwendigkeit eines hermiteschen (dh symmetrischen) Operators (weil ein linearer hermitescher Operator reelle Eigenwerte hat) und dass die Notwendigkeit der Selbstadjungiertheit irgendwie mit einer zusätzlichen Anforderung wie der Einheitlichkeit des Zeitentwicklungsoperators verbunden ist . Was ist das fehlende Stück?

(Ich weiß, wie die beiden Begriffe definiert sind, zB hier .)

Selbstadjungierte Operatoren sind nett, weil man viel mehr Dinge mit ihnen machen kann, zB: 1) sie stehen in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung zu einer stark kontinuierlichen, einheitlichen Gruppe von (Evolutions-)Operatoren; 2) für sie können Sie den Spektralsatz schreiben (und damit Funktionen des Operators, Spektralprojektionen, ... definieren)

Antworten (2)

Im QM ein wirklich geschätztes Observable A wird mathematisch durch ein projektorbewertetes Maß über dargestellt R , P ( A ) , dh wenn E ist dann eine Borel-Teilmenge der reellen Linie P ( A ) ( E ) ist ein Projektor, der die Aussage "das Ergebnis des Messens" darstellt A gehört zu E ". Im Prinzip ist das alles, was Sie brauchen, um Observablen in der QM mathematisch darzustellen (ich gehe von der grundlegenden Formulierung der Theorie über den nicht-distributiven Satzverband aus).

Aber durch den Spektralsatz für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren (bewiesen von von Neumann) wissen wir, dass dies bei einer Observablen gegeben ist A dargestellt durch das Wertmaß des Projektors P ( A ) , gibt es einen selbstadjungierten Operator, auch genannt A , so dass die folgende Zerlegung eindeutig ist

A = ∫ R λ D P ( A ) ( λ )
.

Das Spektrum σ ( A ) ⊂ R fällt mit der Unterstützung von zusammen P ( A ) .

Auf diese Weise und warum erhalten wir die übliche Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Observablen und selbstadjungierten Operatoren in der QM.

Um den ersten Teil Ihrer Antwort zu verdauen, muss ich einige Begriffe darin überprüfen (Borel-Element, ...).
Das sind Begriffe aus der Maßtheorie. In der Welt der mathematischen Grundlagen des QM ist die Maßtheorie allgegenwärtig. Ich hätte "Borel-Teilmenge der reellen Linie" sagen sollen, "Element" kann irreführend sein (ich dachte an "Element der Borel-Sigma-Algebra von Teilmengen", schrieb aber stattdessen "Element"!). Ich werde die Antwort bearbeiten.

Unitarität des Zeitentwicklungsoperators ist genau der Punkt:
Stones Theorem (siehe zB Reed, Simon: Theorems VIII.7, VIII.8) sagt es uns

  • Wenn A selbstadjungiert ist, gilt der Spektralsatz. Dies gibt uns einen funktionalen Kalkül, der es ermöglicht, zu definieren U ( T ) = e ich T A an erster Stelle.
  • Ein solches definiert U ( T ) ist eine stark stetige unitäre Gruppe.
  • Wenn U ( T ) eine stark stetige Einheitsgruppe ist, dann gibt es eine Selbstadjunktion A so dass U ( T ) = e ich T A .

Bearbeiten: Dies sagt uns nur, warum der Hamiltonian selbstadjungiert sein sollte. Die Antwort von QuantumLattice ist besser.

Aber deine Antwort gefällt mir auch. +1
Was genau impliziert die Notwendigkeit der Quantenmechanik für selbstadjungierte und nicht nur für symmetrische Operatoren? [Duplikat]
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