Unbegrenzte Operatoren, die nur auf einem dichten Unterbereich des Hilbert-Raums in QM definiert sind?

Einige relevante selbstadjungierte Operatoren in QM, wie orthogonale Projektoren, sind tatsächlich beschränkt, aber das sind sehr wenige in QM. Begrenztheit ist gleichbedeutend damit, dass der Wertebereich das Observable, also das Spektrum, ist$\sigma(A)$des zugehörigen Betreibers$A$, ist im Hinblick auf die Spektralradiusidentität beschränkt,

$$||A||= \sup\{|\lambda| \:|\: \lambda \in \sigma(A)\}\:.$$ Die meisten Observablen erreichen jedoch beliebig große Werte (denken Sie an Positions- oder Momentum-Observables).

Die Definition des adjungierten Operators und der Satz über geschlossene Graphen beweisen wiederum die Beschränktheit eines selbstadjungierten Operators$A :D(A) \to \cal H$ist äquivalent zu$D(A)=\cal H$. Dies erklärt, warum die meisten Observablen in der QM durch selbstadjungierte Operatoren repräsentiert werden, deren Definitionsbereich – immer dicht, sonst ist die Adjungierte nicht definiert – nicht mit dem gesamten Hilbert-Raum zusammenfällt.

In Bezug auf die Invarianz des Definitionsbereichs, dh der Eigenschaft

$$A(D(A))\subset D(A)$$ der text ist etwas falsch, da der erwartungswert $<A>_\psi$nicht von der Nichtinvarianz der Domäne betroffen ist. Es erfüllt für einen durch den Einheitsvektor definierten reinen Zustand $\psi$, $$<A>_\psi = \langle \psi|A \psi \rangle\:.\tag{0}$$ Siehst du das $\psi \in D(A)$ausreicht, um die Gültigkeit dieser Identität zu gewährleisten.

In Bezug auf Unsicherheiten $\Delta A_\psi$, der zitierte Text kann richtig sein, da sie befriedigen

$$\Delta A_\psi^2 = \langle \psi|A^2 \psi \rangle - \langle \psi|A \psi \rangle^2\tag{1}$$ und Sie sehen, dass die erste Therme auf der rechten Seite das braucht $A(A\psi)$gut definiert sein, das heißt $A\psi \in D(A)$für $\psi \in D(A)$. Hier kommt es stattdessen auf die Invarianz der Domäne an.

Schließlich in Bezug auf Kommutierungsbeziehungen , da sie die Zusammensetzung von Operatoren beinhalten$AB$Und$BA$, sollten entsprechende gekreuzte Invarianzeigenschaften gelten:

$$A(D(B)) \subset D(A)\quad \mbox{and}\quad A(D(A)) \subset D(B)\:.$$

Einige abschließende Bemerkungen sind angebracht. Genau genommen ist (0) nicht die Definition des Erwartungswerts von$A$und (1) ist nicht die Definition von Unsicherheit von$A$, im durch den Einheitsvektor definierten reinen Zustand$\psi$, auch wenn es sich um wichtige Eigenschaften handelt. Die wahren Definitionen sind jeweils

$$<A>_\psi := \int_{\sigma(A)} \lambda d\langle\psi|P^{(A)}(\lambda)\psi\rangle\tag{2}$$ Und $$\Delta A_\psi^2 := \int_{\sigma(A)} (\lambda- <A>_\psi)^2 d\langle\psi|P^{(A)}(\lambda)\psi\rangle\tag{3}$$ wo ich das spektrale Maß von eingeführt habe $A$, $P^{(A)}$. Die rechte Seite von (3) ist wohldefiniert vorausgesetzt $$\int_{\sigma(A)} \lambda^2 d\langle\psi|P^{(A)}(\lambda)\psi\rangle < +\infty\tag{4}$$ und das ist eine andere Art zu schreiben $\psi \in D(A)$. Also auch in diesem Fall Invarianz von $D(A)$ist nicht nötig. Offensichtlich gilt (1) ab (3) wann $\psi \in D(A^2)$und ist im Allgemeinen falsch, obwohl es in einer schwächeren Form gilt $$\Delta A_\psi^2 = \langle A\psi|A \psi \rangle - \langle \psi|A \psi \rangle^2\tag{1'}\:.$$ Ähnlich $<A>_\psi$ist wohldefiniert wenn $\psi \in D(\sqrt{|A|})$das ist eine schwächere Bedingung als $\psi \in D(A)$.

Der Definitionsbereich der Hermite-Funktionen ist unter der Wirkung des harmonischen Oszillator-Hamilton-Operators und der Positions- und Impulsoperatoren unveränderlich.

Es stimmt, dass für unbeschränkte Operatoren „Erwartungswerte, Unsicherheiten und Vertauschungsbeziehungen insgesamt nicht gut definiert sind$H$„Das liegt aber nicht an der fehlenden Invarianz.