Nicht alle selbstadjungierten Operatoren sind Observablen?

Der Anhang von Mackey spricht von Superselektionsregeln , und tatsächlich ist Superselektion das Phänomen, bei dem es selbstadjungierte Operatoren gibt, die keine Observablen sind. Ob dies offensichtlich ist oder nicht, hängt davon ab, wie man "Superselection" definiert.

Die Standarddefinition wäre der Hilbert-Raum$H$spaltet sich in die direkte Summe auf$H_1\oplus H_2$so dass für alle$\lvert\psi\rangle\in H_1, \lvert \phi\rangle\in H_2$und alle Beobachtungen$A$wir haben das$\langle \psi \vert A\vert \phi \rangle = 0$, was das impliziert$AH_1 \subset H_1,AH_2\subset H_2$für alle Observablen, was aber offensichtlich nicht für alle selbstadjungierten Operatoren gilt$H_1\oplus H_2$.

Ein einfaches (wenn auch etwas künstliches) Beispiel für ein superselektiertes System ist, wenn wir nehmen$H_1$der Zustandsraum eines Bosons sein und$H_2$der Zustandsraum eines Fermions, siehe auch diese Antwort von mir . Andere Beispiele können sich aus Theorien mit spontaner Symmetriebrechung ergeben, bei denen Zustände, die zu verschiedenen VEVs gehören, nicht miteinander interagieren und Superselektionssektoren bilden können.

Im Allgemeinen sind aus physikalischen Gründen nicht alle selbstadjungierten Operatoren Observablen. Ich werde das Problem auf der Ebene der von Neumann-Algebren diskutieren, die (vielleicht unbewusst) den Physikern vertrauter sind. Es gibt zwei weitere Möglichkeiten, die zu etwas anders artikulierten Antworten führen:$C^*$-Algebren und Verband der elementaren Aussagentheorie .

Beginnen wir mit der Beobachtung dieser selbstadjungierten Operatoren eines Quantensystems$S$reichen nicht aus, um den Satz von Operatoren zu erschöpfen, die für eine Beschreibung von nützlich sind$S$selbst. Zum Beispiel, wenn$A$ist eine Beobachtungsgröße$U_a = e^{-iaA}$, wo$a\in \mathbb R$, definiert eine Gruppe kontinuierlicher Symmetrien , die dieser Observable und diesem Operator zugeordnet sind (für fixed$a \in \mathbb R$) ist nicht selbstadjungiert.

Die Klasse der nützlichen Operatoren ist auf diese Weise konstruiert. Beachten Sie zunächst, dass die Observablen immer auf eine größere Klasse beschränkter Operatoren reduziert werden können: if$A$ist unbegrenzt (dh die Menge der erreichten Werte, die sein Spektrum definieren $\sigma(A)$ist eine unbeschränkte Teilmenge von$\mathbb R$) die Klasse$\{A_n\}_{n \in \mathbb N}$von beschränkten selbstadjungierten Operatoren

$$A_n = \int_{(-n,n] \cap \sigma(A)} a dP^{(A)}(a)\tag{1}$$ wo $P^{(A)}$ist das spektrale Maß von $A$, umfasst die gesamten Informationen von $A$selbst. Insbesondere wenn $\psi \in D(A)$dann $$A\psi = \lim_{n\to +\infty}A_n \psi\tag{2}$$ und $$\cup_{n \in \mathbb R} \sigma(A_n) = \sigma(A) \:\:\: \mbox{up to the possible element $0 \in \sigma(A)$}$$ (2) sagt, dass die Klasse der beschränkten Operatoren $A_n$konstruiert $A$in der starken Operatortopologie . Auf diese Weise wird jede Observable in eine Menge begrenzter Observablen dekonstruiert. Als nächstes betrachtet man Produkte aller möglichen komplexen Kombinationen von beschränkten Observablen einschließlich unendlicher Kombinationen in der Topologie mit starken Operatoren. Der erhaltene Satz von Operatoren $R_S$enthält alle denkbaren Operatoren, die für ein Quantensystem nützlich sind und aus Observablen extrahiert werden (einschließlich der beschränkten Observablen selbst, die mit den selbstadjungierten Elementen von zusammenfallen $R_S$, ihre spektralen Maße und die daraus erzeugten kontinuierlichen Symmetrien).

Diese Klasse von Operatoren$R_S$ist bekannt als die von Neumann-Algebra (bzw$W^*$Algebra) eines gegebenen Quantensystems$S$.

Die natürliche Frage, die in komplexen Hilbert-Räumen Ihrer Ausgangsfrage entspricht, lautet wie folgt.

Für ein im Hilbert-Raum beschriebenes Quantensystem$H$, tut$R_S = B(H)$?

wo$B(H)$ist die größte von Neumann-Algebra in$H$bestehend aus allen beschränkten Operatoren$A : H \to H$.

(In der Tat, wenn alle selbstadjungierten Operatoren Observablen sind, dann$R_S$enthält alle beschränkten selbstadjungierten Operatoren und ihre komplexen Kombinationen und damit das Ganze$B(H)$weil jeder beschränkte Operator eine komplexe lineare Kombination von ein paar beschränkten selbstadjungierten Operatoren ist. Wenn umgekehrt _$R_S = B(H)$, dann ist jeder selbstadjungierte Operator eine Observable, da per Definition alle selbstadjungierten Operatoren in sind$R_S$sind die Beobachtungsgrößen von$S$.)

Die Physik entscheidet eigentlich.

Es gibt zwei unabhängige Möglichkeiten wann$R_S \subsetneq B(H)$.

$\:\:\:\:$(A) Vorhandensein abelscher Superselektionsregeln .

Dies bedeutet, dass es orthogonale Projektoren gibt$P_k$in$R_S$so dass

(ich)$P_k$pendelt mit jedem Element von$R_S$,

(ii)$P_k \perp P_h$wenn$k \neq h$,

(iii)$\oplus_k P_k =I$.

Die Projektionsräume$H_k = P_k(H)$heißen Superselection-Sektoren und$H$ist die orthogonale Summe von ihnen$H= \oplus_k H_k$aufgrund von (ii) und (iii).

In diesem Fall offensichtlich$R_S \subsetneq B(H)$weil, abgesehen von trivialen Fällen,$B(H)$enthält einige Operatoren, die mit einigen nicht kommutieren$P_k$.

Auf der physikalischen Seite bedeutet dies beispielsweise, dass es keine Möglichkeit gibt, einen Vektorzustand zu unterscheiden

$$\psi = \sum_k c_k\psi_k\tag{1}$$ wo $\psi_k \in H_k$Einheitsvektoren sind, und die Mischung $$\rho_\psi = \sum_k |c_k|^2|\psi_k\rangle \langle \psi_k|$$ Mit der Tatsache, dass $A^\dagger=A \in R_S$pendelt mit jedem $P_k$es ist zum Beispiel leicht zu beweisen, dass $$tr(\rho_\psi A) = \langle \psi|A\psi \rangle$$ aber das Ergebnis erstreckt sich auf Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen und so weiter. Eine andere Möglichkeit, dieses Phänomen physikalisch zu veranschaulichen, besteht darin, dies zu sagen

keine kohärente Überlagerung von reinen Zuständen verschiedener Superselektionssektoren$H_k$ist möglich

Betrachten Sie als typisches Beispiel die beobachtbare elektrische Ladung $Q$für ein elektrisch geladenes Quantensystem (auch Quantenfeld).$Q$hat ein diskretes, im Allgemeinen unbeschränktes Spektrum und die Superselektionsregel der elektrischen Ladung besagt, dass alle Observablen mit ihm pendeln. Es impliziert sofort, dass die Eigenräume$H_q$von$Q$Superselektionssektoren sind und dass eine abelsche Superselektionsregel stattfindet. All dies ist gleichbedeutend damit, dass keine kohärente Überlagerung von Zuständen mit unterschiedlicher Ladung erlaubt ist.

Betrachten Sie bei der Ausgangsfrage beispielsweise zwei unterschiedliche Werte der Ladung$q$und$q'$und zugehörige Eigenvektoren$|q\rangle$und$|q'\rangle$. Der selbstadjungierte Operator

$$A = |q\rangle\langle q'| + |q'\rangle\langle q|$$ definiert kein Observable, da es nicht mit dem Projektor pendelt $P_q$auf zu $H_q$.

Ähnlich bekannte Superselektionsregeln in der Quantenphysik sind die Superselektionsregel der Masse (Bargmanns Superselektionsregel) für nichtrelativistische Quantensysteme und die Superselektionsregel des Drehimpulses (ganzzahlige Werte vs. halbzahlige Werte).

$\:\:\:\:$(B) Die Theorie lässt eine (nicht-Abelsche) Eichgruppe zu .

Dies bedeutet, dass es eine Klasse von Observablen gibt$R'_S$, allgemein als Kommutant von bezeichnet$R_S$, deren Elemente mit jedem Element von pendeln$R_S$aber einige Elemente des Kommutanten sind nicht enthalten$R_S$selbst, wie es stattdessen für (A) geschieht. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn der Kommutant$R_S'$enthält mindestens ein Paar nichtkommutierender Operatoren. Bleiben wir bei diesem Fall (der aufgrund des "Doppelkommutantensatzes" eigentlich der einzig mögliche ist). Es ist leicht zu beweisen, dass die Einheitselemente von$R_S'$eine nicht-abelsche Einheitsgruppe entstehen lassen. Mit anderen Worten alle Observables von$R_S$müssen mit unitären Operatoren kommutieren, die eine nicht-abelsche Gruppe bilden, die (nicht-abelsche) Eichgruppe der Theorie.

Ein Beispiel besteht aus der Beschreibung von Quarks: Alle ihre Observablen müssen mit einer einheitlichen Darstellung von pendeln$SU(3)$(Farbe).

Als Beispiel für selbstadjungierte Operatoren, die in diesem Fall keine Observablen sind, betrachten wir einfach die selbstadjungierten Generatoren der relevanten$SU(3)$Darstellung: Sie können nicht mit der Darstellung pendeln (sofern nicht trivial), daher können sie nicht als Quark-Observablen interpretiert werden, da alle Observablen mit der Darstellung pendeln.

(Ich habe diese Themen in meinem Springer-Buch von 2013 über "Spektraltheorie und QM" und in der nächsten sehr erweiterten gedruckten Ausgabe von 2018 behandelt, die eine noch breitere Diskussion enthält.)

NACHTRAG . Es sollte klar sein, dass in beiden Fällen, in denen nicht alle selbstadjungierten Operatoren beobachtbar sind, die Eins-zu-Eins-Korrespondenz besteht

Reine Zustände$\leftrightarrow$Einheitsvektoren bis hin zu Phasen

dramatisch scheitert.

Ein Beispiel wurde für abelsche Superselektionsregeln gegeben. Beachten Sie das, indem Sie sich auf dieses Beispiel beziehen$\psi$,$\rho_\psi$sondern auch (im Vergleich zu (1))

$$\psi' = \sum_k e^{i\theta_k}c_k \psi_k$$ sind physikalisch nicht zu unterscheiden. Bei Vorhandensein einer Spurweite $\psi$und $U\psi$, wo $U$ein einheitlicher Operator der Eichgruppe ist, bestimmen denselben Zustand.

Eine weitere physikalisch wichtige Konsequenz des Vorhandenseins einer Eichgruppe besteht darin, dass möglicherweise kein maximaler Satz pendelnder Observablen existiert. Der Beweis ist etwas technisch und ich lasse ihn aus. In der Praxis können wir das Quantensystem nicht durch eine selektive Folge von Messungen kompatibler Observablen (mit reinem Punktspektrum) in einen bevorzugten Zustand präparieren.

Ein selbstadjungierter Operator ist eine Observable, wenn Sie ein Gerät bauen, um seine Eigenwerte zu messen. Jedes Mal, wenn ein System in einem bestimmten Eigenvektor vorbereitet wird, liefert Ihr Gerät das gleiche Ergebnis. Sie können dies lokal tun, wenn Sie sich in der Nähe des Systems oder weit davon entfernt befinden.

Probleme treten auf, wenn Sie sich in einer gekrümmten Raumzeit befinden. Es kann einen Horizont zwischen Ihnen und dem System geben. Da Sie keinen Zugriff auf alle Freiheitsgrade haben, müssen Sie sich auf die fernen Freiheitsgrade zurückziehen. Ein reiner Eigenvektor erscheint als Mischung und liefert nicht immer das gleiche Ergebnis.

Eine Besetzungszahl ist ein selbstadjungierter Operator. Ist das präparierte System das Vakuum der Minkowskischen Raumzeit, so sieht es ein ewig beschleunigter Beobachter als Thermalbad bei gegebener Temperatur. für ihn ist die gemessene Betriebszahl nie null.

Und natürlich wird niemand die Besetzungszahl von Fermionen mit gegebenem Spin an einem Ort hinter dem Horizont eines BH messen können.