Dies ist inspiriert von Griffiths QM-Abschnitt 2.2 über den unendlichen quadratischen Brunnen, in dem es darum geht, wie weit ich gekommen bin (also entschuldigen Sie, wenn dies später im Buch angesprochen wird).
Für jede gegebene Ausgangswellenfunktion können Sie sie als Summe über die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung ausdrücken. Die Koeffizienten in der Summe sind zeitlich konstant, daher ist der Erwartungswert der Energie zeitlich konstant. Das Kapitel sagt: "Dies ist eine Manifestation der Energieerhaltung in der Quantenmechanik." OK.
In Aufgabe 2.5 haben wir nun eine Wellenfunktion, die eine gleichmäßige Mischung der ersten beiden stationären Zustände ist. Teil D lässt uns den Erwartungswert des Impulses berechnen, und die Lösung ist zeitlich sinusförmig. Der Impuls bleibt also nicht erhalten.
Wie kann der Impuls nicht konserviert werden? Warum bleibt die Energie erhalten, aber nicht der Impuls?
Diese Subtilität hängt mit der Tatsache zusammen, dass der Impulsoperator (im Gegensatz zum Hamiltonian ) hat keine Eigenfunktionen, die mit den Dirichlet-Randbedingungen kompatibel sind, und ist kein selbstadjungierter Operator . Dies ist im Wesentlichen Beispiel 4 in F. Gieres, Mathematical Überraschungen und Diracs Formalismus in der Quantenmechanik, arXiv:quant-ph/9907069 , siehe p. 6, 39, 44-45. Insbesondere können wir für keinen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen wählen Und . Siehe auch zB diesen verwandten Phys.SE-Beitrag und darin enthaltene Links.
Der Satz von Noether besagt, dass der Impuls erhalten bleibt, wenn die Lagrange-Funktion Ihres Systems unter Translationen unveränderlich ist. Da das Potenzial ist nicht übersetzungsinvariant, der Lagrange ist es auch nicht. Wir sollten also nicht erwarten, dass das Momentum erhalten bleibt. Für ein klassisches Teilchen, das sich in einem Potential bewegt das stimmt auch. Das Teilchen verliert und gewinnt kontinuierlich an Impuls, während es sich im Potential auf und ab bewegt.
Verstößt dies also gegen die Impulserhaltung? In der realen Welt: nein. In der realen Welt findet man kein zufälliges Potenzial, das einfach herumliegt. Das Potential wird immer von einem externen System erzeugt, und welches System auch immer das Potential erzeugt, wird die Änderungen des Impulses berücksichtigen, so dass der Gesamtimpuls erhalten bleibt.
Mir ist klar, dass diese Frage etwas alt ist und das OP wahrscheinlich bereits die Antwort gefunden hat, aber ich hoffe, dass sie einigen Leuten in Zukunft helfen wird.
lächerlicher_Fisch