Halbbeschränktheit von Schrödinger-Operatoren

Der Betreiber$H$ist nach unten beschränkt, wenn alle seine inneren Produkte$\langle\psi,H\psi\rangle$sind von unten begrenzt. So können wir leicht rechnen

$$\langle\psi,H\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}\textbf{x}\,\psi^*(\textbf{x})\left(-\Delta+V(\textbf{x})\right)\psi(\textbf{x}).$$

Teilweises Integrieren dieses Ausdrucks ergibt

$$\langle\psi,H\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}^n}\mathrm{d}\textbf{x}\,\left(\left|\boldsymbol{\nabla}\psi\right|^2+\psi^*(\textbf{x})V(\textbf{x})\psi(\textbf{x})\right)=\langle\boldsymbol{\nabla}\psi,\boldsymbol{\nabla}\psi\rangle+\langle\psi,V\psi\rangle\geq\langle\psi,V\psi\rangle.$$

Also solange$V$ist dann von unten begrenzt$H$wird von unten begrenzt. Dies ist natürlich keine zweiseitige Implikation. Es gibt Fälle, wo$V$ist nach unten aber unbeschränkt$H$ist noch von unten begrenzt.

Ich hoffe das hilft!

Eine lokal quadratisch integrierbare Potentialfunktion$V\in {\cal L}^{2}_\mathrm{loc}(\mathbb{R}^{n})$garantiert das nicht$H$wird von unten begrenzt. Betrachten Sie zB ein lineares Potential

$$V(\vec{r}) ~=~ -\vec{E}\cdot \vec{r}, \qquad \vec{E}~\neq~\vec{0}.$$