Gibt es eine intuitive Erklärung dafür, dass die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung eine vollständige Basis bilden?

Die "zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung" ist nur eine Gleichung für die Eigenwerte und Eigenvektoren des Hamilton-Operators auf dem Hilbert-Zustandsraum (typischerweise$L^2(\mathbb{R}^3,\mathrm{d}x)$, der "Raum der Wellenfunktionen")

Der Spektralsatz sagt uns, dass die Eigenvektoren jedes selbstadjungierten Operators eine Basis für den Raum bilden, in dem der Operator lebt, so lange Ihr Hamiltonoperator selbstadjungiert ist, wird dies gelten. (Es ist Vorsicht geboten - in der Physik verwendete Hamiltonoperatoren können im Wesentlichen nur selbstadjungiert oder lediglich hermitesch sein.)

An der „zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung“ ist also nichts Besonderes – auch die Eigenvektoren anderer selbstadjungierter Observablen bilden solche Basen. Dafür gibt es keine "Intuition", da dies nur eine allgemeine Folge der Tatsache / des Axioms ist, dass quantenmechanische Observablen typischerweise selbstadjungiert sind. Sie können auch selbstadjungierte Operatoren auswählen, die keine physikalischen Observablen modellieren, und Sie erhalten dies trotzdem.

Es ist ein mathematisches Theorem, dass selbstadjungierte Operatoren im Hilbert-Raum ein vollständiges Spektrum haben.

Beachten Sie, dass "selbstadjungiert" eine besondere mathematische Bedeutung hat. Nicht jeder hermitesche symmetrische Operator ist selbstadjungiert. Beispielsweise ist der freie 1D-Schrödinger-Hamiltonoperator auf einem offenen Intervall ohne Randbedingungen nicht selbstadjungiert. Der Grund ist, dass wir periodische Randbedingungen mit unterschiedlichen Phasenverschiebungen wählen können. Unterschiedliche Auswahlmöglichkeiten definieren unterschiedliche selbstadjungierte Operatoren mit unterschiedlichen Eigenfunktionen und Eigenwerten. Einige Potentiale definieren keine selbstadjungierten Schrödinger-Hamiltonianer. Es kann schwierig sein zu beweisen, ob ein bestimmtes Potenzial dies tut.