Konstruktion der Exponentialform eines unitären Operators

Ich glaube, ich habe das herausgefunden, wollte aber sichergehen, dass ich es richtig mache.

Arbeiten mit Operatoren, die bosonische Kommutierungsbeziehungen erfüllen

[ B , B † ] = 1 ,
Ich definiere eine sehr allgemeine einheitliche Transformation für sie:
γ † = u B † + v B + w ,
wo die Koeffizienten u , v , Und w sind real. Mein Ziel ist es, den unitären Operator zu finden U im Formular geschrieben e S Wo S ist anti-hermitesch, so dass
γ † = e S B † e − S .

Hier ist mein Versuch dazu: Die Konstante w ist einfach mit der Erweiterung von e S A e − S in Bezug auf den Kommutator, dh

e S A e − S = A + [ S , A ] + 1 2 [ S , [ S , A ] ] + …
und wir sehen sofort diese Einstellung S = w ( B − B † ) erfüllt diese. Der interessantere Teil kommt als nächstes:

Die Anforderung, dass die Transformation einheitlich ist, ist gleichbedeutend damit, dies zu fordern [ γ , γ † ] = 1 sowie. Daraus ergibt sich die Anforderung u 2 − v 2 = 1 , was wiederum bedeutet, dass wir diese Koeffizienten schreiben könnten als

u = cosch ⁡ ( X ) , v = Sünde ⁡ ( X )
für einige Parameter X . Die infinitesimale Transformation, X = ϵ ≪ 1 , würde dann lauten, bis auf die erste Bestellung rein ϵ :
γ † = B † + ϵ B .
Vergleichen wir dies mit der Kommutator-Erweiterung oben, müssen wir jetzt nur noch einen anti-hermiteschen Operator finden, dessen Kommutator mit B † Ist B . Wir kümmern uns nicht einmal um die höheren Ordnungen der Erweiterung, da diese von zweiter Ordnung sind ϵ , aber hier verschwinden sie sogar genau: Wir setzen einfach
S = ϵ 2 ( B 2 − ( B † ) 2 )
seit dem Kommutator [ B 2 , B † ] = 2 B , Und [ B , B ] = 0 .

Ich denke dann, dass ich fertig bin: Für die vollständige Verwandlung setze ich einfach an

S = w ( B − B † ) + X 2 ( B 2 − B † , 2 ) , cosch ⁡ ( X ) = u .

Dies sollte wahr sein, wenn es wahr ist, dass um "Winkel" zu erreichen X bei unserer "rotation" müssen wir uns nur drehen N mal mit "Winkel" X / N , und damit in der Grenze N → ∞ Wir können den Infinitesimal-Generator verwenden.

Ich weiß, dass dieses Argument für Rotationen im Raum funktioniert, wo statt cosch Und Sünde wir würden mit arbeiten cos Und Sünde , aber ich bin mir sicher, dass dies auch für die hyperbolischen Funktionen funktioniert.

EDIT: Die letzte Frage lautet nun: Ist die obige Argumentation stichhaltig?

Für den allgemeinen Fall denke ich, dass Sie sich die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel ansehen sollten, sie kann nützlich sein.

Antworten (2)

Wir beginnen mit der bosonischen Kommutierungsrelation

(1) [ B , B † ]   =   1 ,

und zwei Nummern w Und X . Die Verschiebung und die Bogoliubov-Transformation werden codiert durch

(2) S 1   :=   w ( B − B † ) ,

Und

(3) S 2   :=   X 2 ( B 2 − ( B † ) 2 ) ,

bzw. damit

γ   :=   cosch ⁡ ( X ) B + Sünde ⁡ ( X ) B † + w 1   = ( 6 )   e S 2 ( B + w 1 ) e − S 2
(4)   = ( 1 ) + ( 2 )   e S 2 e S 1 B e − S 1 e − S 2   = ( 8 )   e S 3 B e − S 3 .

Hier haben wir das verwendet

(5) [ S 2 , B ]   = ( 1 ) + ( 3 )   X B † , [ S 2 , B † ]   = ( 1 ) + ( 3 )   X B ,

so dass

e S 2 B e − S 2   =   e [ S 2 , ⋅ ] B   =   cosch ⁡ ( [ S 2 , ⋅ ] ) B + Sünde ⁡ ( [ S 2 , ⋅ ] ) B
(6)   = ( 5 )   cosch ⁡ ( X ) B + Sünde ⁡ ( X ) B † .

Beachten Sie, dass

(7) [ S 1 , S 2 ]   = ( 1 ) + ( 2 ) + ( 3 )   X S 1 .

Deshalb S 3 in Gl. (4) ist durch die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel gegeben

(8) S 3   :=   ln ⁡ ( e S 2 e S 1 )   =:   B C H ( S 2 , S 1 )   = ( 7 )   S 2 + B ( X ) S 1   =   S 2 + X e X − 1 S 1 _ _ ,

Wo

(9) B ( X )   :=   X e X − 1

ist die erzeugende Funktion von Bernoulli-Zahlen .

Hm, jetzt frage ich mich das da bei dir S 3 und mein S sind nicht gleich, wer von uns einen Fehler gemacht hat und wo er liegt. Mit der Erweiterung von e S A e − S was die kommutatoren angeht, gebe ich dir trotzdem recht...
Die Diskrepanz wird dadurch verursacht, dass die Verschiebung und die Bogoliubov-Transformation nicht pendeln.
Das macht Sinn. Ich denke, es funktioniert für den infinitesimalen Teil, aber wenn ich sie dann aneinander ketten müsste, würde es nicht mehr funktionieren. Ich mag Ihre Lösung; Es ist sauberer, zunächst mit separaten Transformationen für die Translation und die Rotation zu beginnen.

Ja, deine Herleitung funktioniert. Beachten Sie, dass trigonometrische und hyperbolische Funktionen sehr ähnlich sind; Wenn Sie sie in Bezug auf die Exponentialfunktion definieren, unterscheiden sie sich tatsächlich nur um einen Faktor von ich im Exponential (und ggf Sünde Und Sünde im Nenner).

Darüber hinaus ist die von Ihnen definierte Transformation in der Quantenoptik sehr gut bekannt – sie ist Quetschen (hier sind die Begriffe u B ^ † + v B ^ herkommen) und eine (echte) Verdrängung w . In vielen Quantenoptik-Lehrbüchern findet man viel darüber, zB in Büchern von Walls und Milburn oder Scully und Zubairy.

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