Wie funktioniert der Beweis der Operatorkommutativität bei unstetigen Operatoren?

Es ist möglich, etwas Präziseres zu sagen als Martins Antwort (das ist jedoch richtig). Der entscheidende Punkt ist, dass selbstadjungierte Operatoren geschlossene Operatoren sind . Ein Operateur$A: D(A) \to H$, mit$D(A) \subset H$ein linearer Unterraum des Hilbert-Raums$H$heißt abgeschlossen, falls für jede Folge von Vektoren$f_n\in D(A)$so dass

(1)$f_n \to f \in H$als$n\to +\infty$

Und

(2)$Af_n \to g \in H$als$n\to +\infty$

Dann$f\in D(A)$Und$Af=g$.

Mit anderen Worten, wenn beides$D(A) \supset \{f_n\}$Und$\{Af_n\}$konvergieren, dann können wir das Symbol von Grenzwert und vertauschen$A$:

Es gibt mehrere andere äquivalente Definitionen von geschlossenen Operatoren, aber dies ist die elementarere und selbsterklärende.

Es ist klar, dass kontinuierliche Operatoren abgeschlossen sind, aber die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.

In der elementarsten Formulierung von QM werden Observables durch selbstadjungierte (im Allgemeinen unbegrenzte und nicht global definierte) Operatoren dargestellt$A$auf einem geeigneten Hilbertraum. So$A=A^*$. Aus der Definition des adjungierten Operators geht hervor, dass dies offensichtlich ist$A^*$ist geschlossen. Daher$A$ist ebenfalls geschlossen. Diese schwächere Version der Kontinuität erlaubt es, mehrere naive Manipulationen wie die von Ihnen erwähnten zu rechtfertigen.

Nehmen wir nun an, dass A selbstadjungiert ist (in diesem Fall$D(A)$ist dicht) und lässt ein vollständiges orthonormales System von Eigenvektoren zu$\phi_n$, Wo$A\phi_n = \lambda_n \phi_n$(Ich nehme an, dass der Raum nur der Einfachheit halber trennbar ist, da das, was ich schreibe, sogar das Fallenlassen dieser Hypothese beinhaltet).

Offensichtlich$\phi_n \in D(A)$und es ist möglich (zum Beispiel mit dem von Martin erwähnten Spektralsatz) zu beweisen, dass$\psi = \sum_n c_n \phi_n \in D(A)$iff$\sum_n |c_n \lambda_n|^2 < +\infty$.

Die letztere Ungleichung ist im Hinblick auf die Definition der Hilbertschen Basis gleichbedeutend mit der Tatsache, dass$\sum_n c_n \lambda_n \phi_n$konvergiert gegen einen Vektor$\phi\in H$.

Seit$A$geschlossen ist, sieht man leicht, dass:

Das haben wir bewiesen:

SATZ. Lassen$H$ein (komplex separierbarer) Hilbertraum sein. Nehme an, dass$A$ist ein selbstadjungierter Operator in$H$, im Allgemeinen unbeschränkt und auf einem (dichten) linearen Unterraum definiert$D(A)$von$H$, wobei ein vollständiges orthonormales System von Eigenvektoren zugelassen wird$\phi_n$, Wo$A\phi_n = \lambda_n \phi_n$. Wenn$\psi \in D(A)$dann :

Wenn wir nun den Satz zweimal anwenden, haben wir eine unmittelbare Folgerung, die uns daran erinnert, für ein Paar von Operatoren$C,D$An$H$mit Domänen$D(C)$Und$D(D)$bzw:

LOGISCHE FOLGE. Unter Bezugnahme auf den obigen Satz nehmen wir an, dass$B: D(B) \to H$ist ein weiterer selbstadjungierter Operator, der auf dem dichten linearen Raum definiert ist$D(B) \subset H$so dass$B\phi_n = \mu_n \phi_n$für jeden$n$. Wenn$\psi \in D(AB) \cap D(BA)$dann :

Da ich kein Experte für Spektraltheorie bin, wird dies nur eine Teilantwort sein, aber ich glaube, dass diese Frage mathematisch viel komplizierter ist, als Sie denken.

Betrachten wir zunächst den endlichdimensionalen Fall: Wir haben zwei hermitesche Matrizen$A,B\in\mathcal{M}_d$und sie kommutieren genau dann, wenn ihre spektralen Projektionen kommutieren, dh sie haben eine gemeinsame Eigenbasis. So viel, so gut.

Nun bewegen wir uns in einen trennbaren, komplexen Hilbert-Raum$\mathcal{H}$. Als erstes ist anzumerken, dass der Begriff "Eigenvektorbasis" für allgemeine beschränkte Operatoren nicht mehr genau definiert ist. Ein beschränkter Operator$A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$könnte ein kontinuierliches Spektrum haben. Machen wir also zuerst etwas Einfacheres:

Definition: Ein Operator$C\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$(beschränkter Operator) wird als kompakt bezeichnet, wenn er durch einen endlichen Rangoperator angenähert werden kann (dh die "Grenze" von endlich dimensionalen Operatoren ist). Außerdem heißt ein kompakter Operator selbstadjungiert , wenn er hermitesch ist (d.h$\langle \psi, H \phi \rangle = \langle H\psi, \phi \rangle$für alle Vektoren im Hilbertraum).

Es gibt natürlicher äquivalente Charakterisierungen, aber die interessieren mich hier nicht. Jetzt haben wir den Spektralsatz:

Satz: Gegeben sei ein selbstadjungierter, kompakter Operator$A\in\mathcal{B}{(\mathcal{H})}$, gibt es eine Folge reeller Zahlen$\{\lambda_i\}_{i\in\mathbb{N}}$Akkumulieren bei Null und eine Folge von spektralen Projektionen$\{P_i\}_{i\in\mathbb{N}}$so dass

Nun, angesichts dieses Satzes können wir den obigen Beweis immer und gut verwenden. Wir müssen nur beachten, dass jeder lineare, beschränkte Operator automatisch stetig ist (tatsächlich ist ein linearer Operator genau dann beschränkt, wenn er stetig ist).

Jetzt werden wir komplizierter. Für beliebige beschränkte Operatoren (nochmals: sie sind immer stetig!) haben wir einen anderen Spektralsatz. Um dies zu formulieren, benötigen wir den Begriff eines projektionswertigen Maßes, das uns die kontinuierliche Version des Spektraltheorems liefert, die diejenigen Teile des Spektrums enthält, die keine Eigenwerte sind und daher keine Eigenvektoren haben (ein Beispiel für ein solches kontinuierliches Spektrum ist für den Laplace-Operator zu sehen: Sein Spektrum ist der positive Teil der reellen Geraden und die "Eigenfunktionen" wären nicht quadratintegrierbare Funktionen -$e^{ikx}$). Also definieren wir:

Definition: Ein projektionsbewertetes Maß an$\mathbb{R}$ist eine Karte$\mu: \mathfrak{B}\to \mathcal{B}(\mathcal{H})$, Wo$\mathfrak{B}$ist die Borel-Sigma-Algebra über den reellen Zahlen, die folgendes erfüllt:

• $\mu(\mathbb{R})=1$
• für jeden$\xi,\zeta\in\mathcal{H}$,$\langle \xi, \mu(.)\zeta\rangle$ist ein komplexwertiges Maß.

Dann können wir den Satz formulieren:

Satz: Gegeben sei ein selbstadjungierter, beschränkter, linearer Operator$A\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$, gibt es ein projektionsbewertetes Maß$P_{\lambda}$An$\mathfrak{B}$so dass

Dies ist eine Art kontinuierliches Analogon zum Schreiben des Operators als Summe von Eigenwerten und Projektionen. Bei kompakten Operatoren sagt uns unser erster Satz nur, dass das Maß$dP$ist diskret. Jetzt wird eine Zerlegung einer Hilbert-Raumfunktion in "Eigenvektoren" weniger offensichtlich - ich sehe kein wirklich direktes Analogon zu Ihrem obigen Beweis. Wir können jedoch etwas Ähnliches tun. Beachten Sie, dass die Menge$[A,B]$ist immer noch für jeden Bediener gut definiert$A,B\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$, also ist es sinnvoll zu fragen, ob oder nicht$[A,B]=0$. Es scheint, dass Sie Folgendes beweisen können (der Beweis folgt "einfach" aus dem Spektralsatz):

Satz: Gegeben seien zwei selbstadjungierte, beschränkte lineare Operatoren$A,B$, ihre spektralen Maße pendeln genau dann, wenn die Operatoren pendeln.

Warum wollen wir Pendelmaßnahmen? Nun, in diesem Fall scheint es möglich zu sein, ein gemeinsames projektionswertiges Maß für die beiden Observablen zu finden! An dieser Stelle bin ich mir etwas unsicher, wie ich das formulieren soll. Ich nehme an, Sie sollten das gemeinsame Maß definieren$\mu: \mathfrak{B}\times \mathfrak{B}\to\mathcal{B}(\mathcal{H})$ist ein projektionsbewertetes Maß, so dass$\int_{\mathbb{R}} d\mu(\lambda)=P_A$, Wo$P_A$ist das zugehörige Maß$A$und ähnlich, wenn ich über die andere Variable integriere, bekomme ich das andere Maß. Ich denke auch, dass das fragliche Maß hier nur das Produktmaß sein sollte.

Dies sollte so weit sein, wie wir mit der Analogie gehen können. Nun, Sie haben ausdrücklich nach nicht kontinuierlichen Operatoren gefragt. In diesem Fall müssen wir unbeschränkte Operatoren berücksichtigen - diese kommen natürlich als Hamiltonoperatoren in der Quantenmechanik vor (Sie können sie jedoch praktisch vermeiden, indem Sie immer die Zeitentwicklung berücksichtigen). Erstmal wieder eine Definition:

Definition: Ein linearer Operator$A:\mathcal{D}\to \mathcal{H}$mit$\mathcal{D}\subset \mathcal{H}$soll unbeschränkt sein , falls überhaupt$M>0$es existiert ein$\psi\in\mathcal{D}$so dass$\|A\psi\|>M$. Ein unbeschränkter Operator heißt hermitesch , wenn überhaupt$\psi,\phi\in\mathcal{D}$wir haben$\langle \psi , A\phi \rangle = \langle A\psi, \phi \rangle$. Ein Operator heißt selbstadjungiert , wenn zusätzlich auch der Definitionsbereich seines adjungierten Operators gilt$\mathcal{D}$.

Das ist irgendwie klar, aber ich wollte diese Definition niederschreiben, um den größten Unterschied zwischen unbeschränkten und beschränkten Operatoren deutlich zu machen: Während wir bei beschränkten Operatoren immer davon ausgehen können, dass der Definitionsbereich der gesamte Hilbert-Raum ist, gilt dies nicht mehr für unbeschränkte Operatoren. Tatsächlich sind unbegrenzte Operatoren nur auf einer dichten Teilmenge definiert$\mathcal{D}$des gesamten Hilbertraums. An dieser Stelle wird die Operatormultiplikation problematisch - eine Größe wie$[A,B]$ist a priori nicht wohldefiniert. Sie können es natürlich leicht zu einem wohldefinierten Ausdruck machen, indem Sie einfach sagen, dass die Domäne von$[A,B]$ist alle Vektoren, wo es Sinn macht. In vielen Fällen bedeutet dies jedoch, dass die Domäne von$[A,B]$ist nur$\{0\}$, was den Ausdruck ergibt$[A,B]=0$ein bisschen bedeutungslos.

Es stellt sich heraus, dass Sie denselben Spektralsatz wie oben für unbegrenzte Operatoren verwenden können (das Projektionswertmaß für begrenzte Operatoren wird kompakt unterstützt, während dies für unbegrenzte Operatoren nicht mehr gilt). Jetzt können wir eine andere Definition des Pendelns haben (diese ist jetzt von Reed-Simon VIII.5 übernommen):

Definition: Zwei selbstadjungierte Operatoren$A, B$ pendeln , wenn alle ihre Projektionen in ihren zugehörigen projektionsbewerteten Maßen pendeln.

Und dann kann man folgenden Satz (wieder Reed-Simon) beweisen:

Satz: $A,B$zwei selbstadjungierte Operatoren pendeln genau dann, wenn ihre unitären Gruppen mit einem Parameter pendeln (dh$e^{itA}e^{isB}=e^{isB}e^{itA}$für alle$s,t$).

Vor diesem Hintergrund mag die Frage, ob es so etwas wie eine „gemeinsame Maßnahme“ gibt, zwar sinnvoll, aber ebenso wenig zumutbar sein. Das ist mehr als mein Wissen, und ich denke, Sie müssten die Mathematiker fragen, ob Sie eine klarere und vollständigere Darstellung dieser subtilen Punkte wünschen ...

Wie bereits erwähnt, ist der letzte Teil Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis (Kapitel VIII) entnommen.

Der Rest ist aus meinem Kopf und könnte fehlerhaft sein, Kommentare und Vorschläge sind sehr willkommen. Ich kann immer weitere Referenzen und Beweise liefern, aber die meisten Beweise (insbesondere das Spektraltheorem) sind ziemlich kompliziert.

EDIT: Im Allgemeinen eine Berechnung des Typs gegeben$A\sum_n a_n |f_n\rangle = \sum_n a_n A|f_n\rangle$, kann dies nur für jeden Zustand durchgeführt werden, wenn$A$ist begrenzt. Diese Situation wird Ihnen meistens in zwei Kontexten begegnen: Entweder ist der Operator wirklich beschränkt (dann ist er meistens sogar kompakt und die$|f_n\rangle$sind die Eigenzustände) oder der Operator ist unbeschränkt und die$|f_n\rangle$werden verallgemeinerte Eigenzustände sein. Da diese sowieso nicht im Hilbertraum sind, ist der ganze Ausdruck nur formal und um zu sehen, wie das mathematisch funktioniert, muss man anders vorgehen.

Jetzt gibt es andere Situationen als diese. Eine, die mir einfällt, ist der Hamilton-Oszillator für den harmonischen Oszillator, der unbegrenzt ist, aber nur ein reines Punktspektrum hat. In diesem Fall gilt für allgemeine Koeffizienten$H \sum_n a_n |f_n\rangle=\sum_n a_n H|f_n\rangle$ist größtenteils Unsinn in dem Sinne, dass die rechte Seite unendlich und die linke Seite nicht definiert ist, aber wenn die Koeffizienten schnell genug abfallen, macht die rechte Seite tatsächlich Sinn. Dann kann man leicht zeigen, dass es sich um eine Cauchy-Folge handelt, also der Vollständigkeit halber nach links konvergiert. Dies muss jedoch für jedes bestimmte Beispiel einer Sequenz gezeigt werden. In diesem speziellen Fall kann man das immer noch sagen$H \sum_n a_n |f_n\rangle=\sum_n a_n H|f_n\rangle$hält, indem man einfach die Beziehung definiert, die wahr sein soll, wenn die rechte Seite unendlich ist, und im Hinterkopf behält, dass dies nur bedeutet, dass der Staat nicht unterstützt wird$H$. Ich denke jedoch nicht, dass dies in irgendeiner Weise allgemeingültig ist.