Stone-von-Neumann-Theorem

Ich bemerkte, dass das Stone-von-Neumann-Theorem kein Beweis für die Aussage am Anfang der Frage ist. Die Originalbeweise des Wielandt-Wintner-Theorems (übrigens erst 1947-1948 bewiesen, während das Stone-von-Neumann-Theorem bereits 1931 einen befriedigenden Beweis durch von Neumann hatte) findet man in:

Wintner, A. - The Unboundness of Quantum-Mechanical Matrices (1947, The Physical Review, Bd. 71, S. 738-739)

Wielandt, H. - Über die Unbeschränktheit der Operatoren der Quantenmechanik (1948, Mathematische Annalen, S. 21).

Die Essenz von Wielandts Beweis ist Anmerkung 6 der zitierten Wiki-Seite:

Die Bedeutung unbegrenzter Koordinaten- und Impulsoperatoren auf der reellen Achse (1D) besteht darin, dass die "Quantenbewegung" des Teilchens uneingeschränkt ist, in dem Sinne, dass entweder die Koordinate oder der Impuls auf einen beliebigen hohen Wert (unendlich in der Grenze), dh mathematisch unbeschränkte Operatoren haben kein beschränktes Spektrum.

Satz: Wenn zwei (nicht unbedingt selbstadjungierte) beschränkte Operatoren $\hat{q}$Und$\hat{p}$auf einem Hilbert-Raum erfüllen die CCR

$$[\hat{q},\hat{p}]~=~i\hbar~{\bf 1}, \qquad i\hbar~\in~\mathbb{C},\tag{1}$$ Dann $i\hbar=0$.

Indirekter Beweis: (Dies ist im Wesentlichen der Beweis von Lit. 1.) Angenommen

$$i\hbar~\neq~ 0.\tag{2}$$ Seit $\hat{p}$begrenzt ist, können wir uns verschieben $$\hat{p}^{\prime}~:=~\hat{p}+ b{\bf 1}\tag{3}$$ um einen endlichen positiven Betrag $b>0$, so dass $\hat{p}^{\prime}$ein invertierbarer Operator ist, und so weiter $\hat{p}^{\prime}$Und $\hat{p}^{\prime -1}$sind beide beschränkte Operatoren. Beachten Sie, dass der gestrichene Operator $\hat{p}^{\prime}$erfüllt auch die CCR (1). Lassen wir die Prime-Notation von nun an weg. Die Spektren $$\sigma(\hat{q}\hat{p})~=~\sigma(\hat{p}\hat{q}\hat{p}\hat{p}^{-1})~=~\sigma(\hat{p}\hat{q})\tag{4}$$ der beschränkten Operatoren $\hat{q}\hat{p}$Und $\hat{p}\hat{q}$müssen gleichbeschränkte Mengen sein. Andererseits zeigt das CCR (1), dass die Spektren verschoben sind $$\sigma(\hat{q}\hat{p})~\stackrel{(1)}{=}~\sigma(\hat{p}\hat{q}) +i\hbar\tag{5}$$ Nur so können die Gl. (2), (4) & (5) könnten sich nicht widersprechen, wenn die Spektren die leeren Mengen sind. Dies widerspricht jedoch der allgemeinen Tatsache (erwähnt zB auf Wikipedia und MO.SE ), dass

Tatsache: Jeder beschränkte Operator hat ein nicht leeres Spektrum.

$\Box$

Anmerkung: Wenn wir das zusätzlich annehmen$\hat{q}$Und$\hat{p}$selbstadjungiert sind, brauchen wir die obige Tatsache nicht zu verwenden. Dann ist der Kommutator (1) antiselbstadjungiert, so dass$\hbar\in\mathbb{R}$muss echt sein. Außerdem der beschränkte Operator

$$\hat{s}~:=~\hat{q}\hat{p}-\frac{i\hbar}{2}~\stackrel{(1)}{=}~\hat{p}\hat{q} +\frac{i\hbar}{2}~=~\hat{s}^{\dagger}, \tag{6}$$ ist selbstadjungiert und hat daher (nach dem Spektralsatz ) ein nicht leeres reelles Spektrum $$\emptyset~\neq~\sigma(\hat{s})~\stackrel{(6)}{=}~\sigma(\hat{q}\hat{p})-\frac{i\hbar}{2}~\stackrel{(1)}{=}~\sigma(\hat{p}\hat{q}) +\frac{i\hbar}{2}, \tag{7}$$ das ist Gl. (5) ohne das Schlupfloch leerer Sätze. $\Box$

Verweise:

1. A. Wintner, Phys. Rev. 71 (1947) 738 .

Konjugierte Variablen/Operatoren sind durch Fourier-Transformation verknüpft, d. h. die (Quanten-)Zustände einer Observablen sind die Fourier-Transformation der anderen und daher kann nur einer von ihnen eine kompakte Unterstützung haben (es sei denn, es handelt sich um eine Nullfunktion). Dies ist als Unsicherheitsrelation in Fourier-Transformationen bekannt . Intuitiv bedeutet dies, dass die Streuung einer Variablen und ihr Fourier-Dual umgekehrt proportional sind, was sich physikalisch zB in der lokalisierten (konzentrierten) Position und dem delokalisierten (gestreuten) Impuls niederschlägt. Einen Beweisansatz finden Sie in der Antwort von Qmechanic.

Physikalisch sind alle diese Arten von Variablen/Observablen inkompatibel (nicht-kommutierend$XP - PX \neq 0$, Wo$P \propto F^{-1} X F$mit$F: L^2(\mathbb{R}) \to L^2(\mathbb{R})$), da sie nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit gemessen werden können. Mit anderen Worten, die Unsicherheiten in den beiden Variablen sind immer durch den Durchschnitt ihres Kommutators begrenzt (selbst wenn Sie die Messungen separat an einem Ensemble von unendlich vielen identisch präparierten Quantensystemen durchgeführt haben). Diese Unsicherheiten sind eine intrinsische Eigenschaft jedes Quantenzustands.