Wie kann man wissen, ob ein Satz pendelnder Observablen vollständig ist?

Wir definieren einen vollständigen Satz pendelnder Observablen als einen Satz von Observablen { A 1 , … , A N } so dass:

  1. [ A ich , A J ] = 0 , für jeden 1 ≤ ich ,   J ≤ N ;

  2. Wenn A 1 , … , A N sind Eigenwerte von A 1 , … , A N bzw. es existiert ein eindeutiger Zustand ψ so dass A ich ψ = A ich ψ .

Ich habe mich gefragt, ob es ein Theorem oder ein Standardverfahren gibt, um zu sagen, ob eine Menge von Observablen vollständig ist. In endlichdimensionalen Räumen scheint es ganz einfach zu sein, aber wie macht man das in unendlichdimensionalen Räumen, insbesondere wenn die Entartung auch unendlich ist?

Einige praktische Fragen:

  1. Wie zu beweisen { H , L 2 , L z } ist ein komplettes Set, wo L ist der Drehimpuls, L z ist der z -Richtungskomponente von L , Und H = 1 2 M ∇ 2 − e 2 R ist der Hamiltonianer?

  2. Wie zu beweisen { H , L z } ist bei den Landau-Niveaus ein komplettes Set?

Vollständiger Satz von Beispielen für pendelnde Observables

Antworten (2)

Es ist vollständig, wenn es nur eine Basis gemeinsamer Eigenvektoren gibt. Das heißt, es gibt nur eine Basis, in der die Matrizen Diagonalmatrizen sind.

Beginnen wir mit nur 2: Operatoren A Und B . Wenn [ A , B ] = 0 , gibt es mindestens eine orthonormale Basis gemeinsamer Eigenvektoren.

Wenn die Eigenwerte von A keine Entartung haben, dann ist die Basis eindeutig (mit Ausnahme globaler Phasenfaktoren), und daher ist die Menge vollständig .

Wenn A entartete Eigenwerte hat, dann bilden sie Unterräume (die Matrix hat Kästchen entlang der Diagonalen). B wirkt auf jeden Unterraum, ohne mit anderen zu verschmelzen.

In jedem Unterraum finden Sie eine Basis von B was Sub-Sub-Räume (Sub-Boxen) macht.

Wenn diese Unterräume mehr als eindimensional sind, dann ist das System nicht vollständig, aber es gibt eine dritte pendelnde Beobachtungsgröße C das könnte die Matrizen diagonal machen.

Es kann mehr als 1 CSCO mit unterschiedlichen Eigenwerten geben.

Für einen gegebenen CSCO spezifizieren Eigenwerte aller Operatoren einen einzigen gemeinsamen Eigenvektor.

Was die praktische Frage betrifft, so können Sie sie im Einzelfall zeigen.

Aber man kann zeigen, dass jeder kugelsymmetrische Aufbau erfüllt [ H , L → ] = 0 , und deshalb gibt es [ H , L 2 ] = 0 ,   [ H , L z ] = 0 .

Dies liegt daran, dass jedes System, das unter Drehungen invariant ist, dies bestätigt H vertauscht sich mit Drehungen, und Drehungen sind eine Funktion von L → , So [ H , L → ] = 0 . Es ist lang zu beweisen, aber es ist ein sehr schönes Thema.

Hinweis : Invariante unter Rotationen bezieht sich darauf, dass Sie das gleiche Ergebnis erhalten, wenn Sie a) es zeitlich entwickeln lassen und es dann drehen. b) Drehen Sie es zuerst und lassen Sie es sich dann entwickeln.

Wenn Sie wissen, dass ein Satz von Quantenzahlen vollständig ist, wissen Sie im Allgemeinen, dass jeder andere vollständige Satz dieselbe Anzahl von Quantenzahlen haben muss – was eine praktische Möglichkeit ist, die Ergebnisse zu überprüfen. Außerdem entspricht die Anzahl separierbarer Freiheitsgrade auch der Anzahl der Quantenzahlen. In Ihrem Beispiel hat das Elektron 3 Freiheitsgrade um das Atom herum (4 mit Spin), also definieren 3 oder 4 Quantenzahlen das System. In Landau-Ebenen hat es nur 2 Freiheitsgrade.

BEARBEITEN: Vielleicht ist dies ein weiterer wichtiger Punkt, der zu beachten ist: Ein Satz von Pendeloperatoren ist vollständig, wenn er die maximale Anzahl von linear unabhängigen, pendelnden Operatoren über den Raum darstellt. Dies ist im Allgemeinen eine herausfordernde Tatsache, die angesichts eines Kandidatensatzes von Operatoren zu beweisen ist.

Es scheint nicht wahr zu sein. Da Pendeloperatoren gleichzeitig diagonalisiert werden können, werde ich mich auf Diagonaloperatoren konzentrieren, um ein Beispiel zu geben. Betrachten Sie ein System in einem vierdimensionalen Hilbert-Raum und die folgenden kommutierenden positiven Operatoren
A = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 ] , B = [ 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 ] , C = [ 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 ] . Dann { A , B } Und { C } sind vollständige Sätze von pendelnden Observablen mit unterschiedlicher Anzahl von Quantenzahlen. Ist es richtig?
@CorreadaSilva Hier gibt es ein paar Probleme. Erstens ist nicht klar, welches System Sie mit diesen Matrizensätzen modellieren. Beide Sätze müssen dasselbe System modellieren, damit wir die QNs überhaupt sinnvoll vergleichen können. Zweitens scheinen mir diese Sets nicht vollständig zu sein. Beide Mengen haben noch andere Matrizen, die von ihnen linear unabhängig sind und mit allen Mitgliedern der Menge kommutieren. Wir müssen die maximale Anzahl von LI- und Pendelmatrizen haben, um zu sagen, dass der Satz vollständig ist.
@RicardoCorreadaSilva Hoppla, ich habe das Tag beim ersten Mal vermasselt. Wie auch immer, ich dachte an etwas hinzuzufügen. Diese Frage ist nämlich eng mit dem Problem der Clebsch-Gordan-Koeffizienten und einem Punkt der Verwirrung verbunden, den einige Leute haben: Die ungekoppelte Basis (direktes Produkt von Spinzuständen) hat die gleiche Anzahl von Basisvektoren und Kommutierungsoperatoren wie die gekoppelte Basis (direkt Summe der Spinzustände). Zum Beispiel, 3 2 ⨂ 3 2 = 3 ⨁ 2 ⨁ 1 ⨁ 0 , und in beiden Fällen wird der Raum durch 4 Operatoren (und damit 4 QNs) und 16 Basisvektoren definiert.
Eigentlich möchte ich das System nicht spezifizieren, ich hatte auf eine allgemeine Antwort gehofft. Nun, die Mengen sind vollständig, wie Sie in der obigen Definition sehen können, und wie bei den Clebsch-Gordan-Koeffizienten gibt es eine Entsprechung zwischen der Basis: (i) in der Menge { A , B } die Vektoren können identifiziert werden als | 1 , 1 >= ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , | 1 , 2 >= ( 0 , 1 , 0 , 0 ) , | 1 , 3 >= ( 0 , 0 , 1 , 0 ) Und | 2 , 1 >= ( 0 , 0 , 0 , 1 ) ; (ii) im Satz { C } die Vektoren können identifiziert werden als | 1 >= ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , | 2 >= ( 0 , 1 , 0 , 0 ) , | 3 >= ( 0 , 0 , 1 , 0 ) Und | 4 >= ( 0 , 0 , 0 , 1 ) . Aber diese Beziehung besteht zwischen Vektoren.
@RicardoCorreadaSilva Ich glaube, du verfehlst meinen Punkt. Jede allgemeine Antwort hängt von der konsequenten Anwendung spezifischer Systeme ab. Ich meine, wenn Sie die Symmetrien oder den Hamilton-Operator Ihres Hilbert-Raums nicht angeben, gibt es keine Möglichkeit zu sagen, ob zwei Sätze von Observablen beide denselben Raum definieren. Das Beispiel, das Sie gegeben haben, ist entweder trivial oder unbeantwortbar. Wenn Sie behaupten, dass beide Sets dasselbe System modellieren, kann ich das nicht überprüfen, es sei denn, Sie geben das Ziel Hilbert Space an. Wenn es nur E3 sein soll, funktioniert jede einzelne 4x4-Matrix mit eindeutigen Eigenwerten, aber das wussten Sie bereits.
@RicardoCorreadaSilva Ihre Antwort ist hier, wenn Sie bereit sind, sie zu akzeptieren. Der Ziel-Hilbert-Raum eines bestimmten Quantensystems wird durch die simultanen Eigenvektoren einer Anzahl von hermetischen Operatoren aufgespannt, die gleich der Anzahl trennbarer Freiheitsgrade dieses Systems ist. Diese Zahl stellt eine maximale Menge von Pendeloperatoren dar, die den Symmetrien des Systems gehorchen. Beispielsweise können Spinzustände eindeutig durch 1 Operator ( L z ), aber Sie brauchen eigentlich 2 Operatoren, weil L → ist immer noch ein Freiheitsgrad, obwohl er die Eigenvektoren nicht einzuschränken scheint.
Wie kann man wissen, ob ein Satz pendelnder Observablen vollständig ist?
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