Gemeinsames Spektralmaß-Theorem

Bitte lassen Sie mich wissen, ob das, was ich denke, richtig ist.

Ja, die Überlegung ist im Wesentlichen richtig. Um zu helfen, zu validieren und vielleicht zu verfeinern, was in der Frage geschrieben steht, werde ich einige Gedanken darüber äußern, wie sich das Spektralmaßtheorem auf die folgenden Tatsachen bezieht:

• Fakt 1: Echte Messungen haben eine endliche Auflösung.

• Fakt 2: Echte Messungen gelten nur für einen Teil eines größeren Systems.

Um genau zu sein, stellen Sie sich beispielsweise zwei gegenseitig pendelnde Observablen vor$A$Und$B$, beide mit kontinuierlichen Spektren, die durch die gesamte reelle Linie gegeben sind. Um genauer zu sein, betrachten Sie einen Hilbert-Raum von$N$-variable Funktionen$\psi(x,y,z,...)$, und definieren$A$Und$B$von

$$A\,\psi(x,y,z,...)=x\,\psi(x,y,z,...) \hskip2cm B\,\psi(x,y,z,...)=y\,\psi(x,y,z,...). \tag{1}$$ Echte Messungen haben eine endliche Auflösung, also sollten wir nicht an das Ergebnis von denken$A$-Messung als Ergebnis eines Eigenvektors/Eigenwerts von$A$, die es mathematisch sowieso nicht gibt. Eine bessere Art, darüber nachzudenken (aber immer noch künstlich; siehe Fußnote), ist, sich eine Messung von vorzustellen$A$als Sammlung einer endlichen Anzahl miteinander kompatibler Ja/Nein-Fragen. Jede Ja/Nein-Frage fragt: „Ist der Wert von$x$größer das$x_0$oder weniger als$x_0$?" für einen gegebenen Wert von$x_0$. Diese Frage entspricht einer dichotomen Observablen, repräsentiert durch ein Paar sich gegenseitig ergänzender Projektionsoperatoren$\{P,\,1-P\}$aus der spektralen Zerlegung von$A$. Die Projektionsoperatoren$P$Und$1-P$beide haben unendlichdimensionale Eigenräume. Nach der Messung der dichotomischen Observablen$\{P,\,1-P\}$, der ursprüngliche Zustandsvektor$|\psi\rangle$sollte durch beides ersetzt werden$P|\psi\rangle$oder$(1-P)|\psi\rangle$um Vorhersagen über zukünftige Messungen zu treffen. Da alle Projektionsoperatoren in der spektralen Zerlegung von$A$miteinander pendeln, können wir eine Messung modellieren$A$als eine große (aber endliche) Anzahl dieser dichotomen Messungen, deren Reihenfolge keine Rolle spielt. Und da alle Projektionsoperatoren in der spektralen Zerlegung von$B$pendeln mit denen von$A$, können wir eine gemeinsame Messung mit endlicher Auflösung durchführen$A$Und$B$auf die gleiche Weise handhaben wir eine endlich aufgelöste Messung von$A$selbst – nämlich als eine große, aber endliche Sammlung miteinander kompatibler dichotomischer Messungen. Auf diese Weise wird die Behandlung von Observablen mit kontinuierlichen Spektren effektiv auf den Fall von Observablen mit diskreten Spektren reduziert.

Das adressiert Fakt 1, und Fakt 2 kann ähnlich behandelt werden. Gemäß Gleichung (1) ist jeder Nicht-Null-Projektionsoperator in der spektralen Zerlegung von$A$(oder$B$) hat einen unendlichdimensionalen Eigenraum. Keiner von ihnen hat endlichdimensionale Eigenräume, geschweige denn eindimensionale Eigenräume. Physikalisch entspricht dies der Tatsache, dass das Beobachtbare$A$(oder$B$) ist nur einem Teil eines größeren Systems zugeordnet (in diesem erfundenen Beispiel durch die lange Liste von Variablen repräsentiert$x,y,z,...$) und eine Messung von$A$kann den Zustand des restlichen Systems nicht vollständig bestimmen, egal wie fein die Auflösung des ist$A$-Messung könnte sein. (Eine vorsichtigere Version dieser Aussage würde in interessante Richtungen führen, die Verschränkung und Dinge wie das Reeh-Schlieder-Theorem beinhalten, aber ich werde der Versuchung widerstehen, so vorsichtig zu sein.)

Insgesamt denke ich, dass dies mit dem Verständnis übereinstimmt, das in der Frage formuliert wurde. Der Zweck dieser Antwort bestand lediglich darin, das zu bestätigen, was in der Frage geschrieben stand.

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Fußnote

Wie oben erwähnt, ist die Sichtweise der Sammlung von dichotomischen Observablen immer noch künstlich, weil reale Messungen keine perfekt scharfen Grenzen zwischen den verschiedenen möglichen Ergebnissen haben. Obwohl beispielsweise eine reale Messung der Position eines Partikels eine endliche Auflösung hat, wird diese endliche Auflösung nicht wirklich durch eine Unterteilung des Raums in Zellen endlicher Größe mit perfekt scharfen Grenzen realisiert. Eine noch bessere Art, über Messungen nachzudenken, besteht darin, ein Modell zu verwenden, das die Messgeräte und andere Umgebungseinheiten als Teil des gesamten Quantensystems umfasst, sodass der physikalische Vorgang der Messung von der Schrödinger-Gleichung für das gesamte System umfasst wird. Das berüchtigte Messproblem wird dadurch zwar nicht gelöst, aber docherlauben uns, die Anwendung der Projektion aufzuschieben$|\psi\rangle\rightarrow P|\psi\rangle$bis der eigentliche, chaotische physikalische Messprozess praktisch abgeschlossen ist. Der konzeptionelle Vorteil dabei ist, dass das Modell jetzt selbst „weiß“, dass die Grenzen zwischen verschiedenen möglichen Messergebnissen unscharf sind, genauso wie wir wissen, dass sie in der realen Welt sein müssen. Wir können immer noch eine Projektion anwenden$|\psi\rangle\rightarrow P|\psi\rangle$, die immer noch künstlich scharfe Grenzen setzt, aber auf diese Weise lässt sich zumindest ihre Künstlichkeit anhand des Modells selbst quantifizieren. In der Praxis geht niemand so vor, weil die Mathematik unerschwinglich schwierig ist: Das Lösen der Schrödinger-Gleichung für alle Moleküle in einem ganzen Labor ist, nun ja, ziemlich schwierig. Hier geht es nur darum, dass es prinzipiell machbar wäre . Dies kann helfen, die Dinge in eine etwas befriedigendere Perspektive zu rücken, auch wenn es das berüchtigte Messproblem nicht löst.