Woher kommt das iii in der Schrödinger-Gleichung?

Lassen$U$ein unitärer Operator sein . Schreiben

Einheitlichkeit bedeutet$U^\dagger U=\mathbb I$, dh,

Daher, wenn$U^\dagger U=\mathbb I$, Wir müssen haben

Wie können wir das archivieren? Beides können wir immer wieder neu definieren$\epsilon$und$A$so dass$\epsilon$ist echt. Wenn Sie dies tun, erhalten wir$A^\dagger=-A$, dh,$A$ist antihermitesch. Im Prinzip ist das vollkommen richtig, aber wir können es besser machen.

Wenn wir wählen$\epsilon$imaginär, bekommen wir$A^\dagger=A$. Diese Option gefällt uns besser, weil wir hermitische Operatoren mögen. Wenn$A$mit dem Hamiltonian zu identifizieren ist, sollten wir besser haben$\epsilon$eingebildet, weil anders$H$kann nicht hermitesch (dh beobachtbar) sein.

Beachten Sie, dass Susskind schreibt$U=\mathbb I-i\epsilon H$Anstatt von$U=\mathbb I+i\epsilon H$. Dieses negative Vorzeichen ist nur Konvention, es ist das, was jeder tut, aber im Prinzip könnte es ein sein$+$Schild. Dieses Zeichen hat keinen Einfluss auf die Physik (aber wir müssen mit unserer Wahl konsequent sein). Dies ähnelt bestimmten ODEs in der klassischen Mechanik (angetriebener harmonischer Oszillator, RLC-Schaltungen usw.), wo wir den Ansatz verwenden$x(t)=\mathrm e^{-i\omega t}$, aus historischen Gründen mit einem Minuszeichen.

Also schließen wir den Faktor ein$i$in$U$, und wir landen bei der Schrödinger-Gleichung. Hätten wir das nicht inkludiert$i$, hätten wir bekommen

Egal was$\psi(y,0)$Das heißt, diese Lösung breitet sich nicht aus, ist nicht schwingend und klingt mit der Zeit ab. Daher bewegen sich die durch die Wärmegleichung beschriebenen "Teilchen" nicht und verschwinden langsam! (zum Beispiel sind "stationäre" Lösungen von der Form$\psi(x,t)=\mathrm e^{-Et}\phi(x)$, die als auf Null geht$t\to \infty$).

Auch, wenn da nicht der wäre$i$in der Schrödinger-Gleichung,$\int\mathrm dx\ |\psi(x,t)|^2$wäre nicht zeitunabhängig, also würde sich die Gesamtwahrscheinlichkeit mit der Zeit ändern, und das macht keinen Sinn. deshalb, die$i$in der Schrödinger-Gleichung ermöglicht die Born-Interpretation der Wellenfunktion!

Einige Dinge, die Sie vielleicht überprüfen möchten:

• Kontinuierliche Gruppen, Lie-Gruppen und Lie-Algebren, zum Beispiel in http://www.cmth.ph.ic.ac.uk/people/d.vvedensky/groups/Chapter7.pdf

• Satz von Wigner : Symmetrien werden durch lineare/einheitliche Operatoren oder durch antilineare/antieinheitliche Operatoren realisiert.

• Translationsoperator : In der Quantenmechanik (und gewissermaßen auch in der klassischen Mechanik) werden Raum/Zeit-Translationen durch unitäre Operatoren dargestellt, wobei die Generatoren solcher Operationen die Energie/Impuls-Operatoren sind.

• Spektralsatz : Hermitesche Operatoren haben reelle Eigenwerte.

• Das Maximumprinzip der Wärmegleichung: wenn$\psi(x,t)$löst die Wärmegleichung und$t_2>t_1$, dann$\psi (t_2,x)\le \psi(t_1,y)\ \forall x,y$, was bedeutet$\psi$mit der Zeit "abnimmt" (daher Wahrscheinlichkeit "wird zerstört" oder "Partikel verschwinden").

• Schrödinger versus Wärmegleichungen

Im Allgemeinen die$i$muss nicht da sein: wir können einfach die zeitliche Entwicklung definieren$e^{tK}$, aber dann$K$wird antihermitesch sein. Es macht wirklich keinen Unterschied. Ich schätze, es ist bequemer, mit hermiteschen Operatoren umzugehen, also haben die Leute einfach ein faktorisiert$i$:

Meine lockere Intuition dafür, warum das$i$in Schrödingers Gleichung erscheint, kommt auf den Logarithmus eines unitären Matrixwesens hinaus$i$mal eine hermitische Matrix und Differentialgleichungen, die dazu neigen, Dinge zu potenzieren.

Alle Quantenoperationen sind einheitlich (außer der Messung, abhängig von Ihrer bevorzugten Interpretation). Unitäre Matrizen haben viele nette Eigenschaften. Insbesondere hat ihre Eigenzerlegung rechtwinklige Eigenvektoren mit Eigenwerten aus dem komplexen Einheitskreis. Symbolisch:

Wo jeweils$\theta_k$ist zwischen$0$und$2 \pi$, und die$v_k$'s stehen alle senkrecht aufeinander.

Wenn Sie eine einheitliche Matrix im Laufe der Zeit in eine kontinuierliche Aktion umwandeln möchten, müssen Sie sie interpolieren. Sie könnten dies entweder tun, indem Sie es auf eine gebrochene Potenz wie erhöhen$U_t = U^t$, oder indem sein Logarithmus in einer exponentiellen Art skaliert wird$U_t = e^{t \ln(U)}$. Wir werden den logarithmischen Ansatz verwenden, weil er eleganter und nützlicher für Differentialgleichungen ist (* hust * * hust *).

Denn wir haben eine Eigenzerlegung für$U$bezüglich$e^\text{whatever}$, der Logarithmus hat eine sehr schöne Form. Die Winkel der Phasenfaktoren fallen nach unten:

Hier haben wir definiert$H$im Sinne einer Eigenzerlegung mit senkrechten Vektoren, die durch reelle Eigenwerte skaliert sind. Deswegen$H$ist hermitesch. Also ist der Logarithmus einer einheitlichen Matrix$i$mal eine hermitische Matrix, und unsere Interpolation-durch-Potenzieren-eines-skalierten-Logarithmus wird zu:

Wenn Sie aufgepasst haben, haben Sie gesehen, wo die$i$kam aus.

• Es erschien ursprünglich, weil Einheitsmatrizen nur Phasenfaktoren auf ihre Eigenvektoren anwenden, sodass ihre Eigenwerte gleich sind$e^{i \theta_k}$.
• Als wir den Logarithmus berechneten, um den Effekt der einheitlichen Matrix zu interpolieren, die$i$fiel aus dem Exponential heraus und entkam der Summe.
• Die verbleibende Summe war eine hermitische Matrix.

Da wir wollen, dass unsere Differentialgleichung einheitliche Lösungen hat und Differentialgleichungen dazu neigen, Dinge zu potenzieren, sollten wir besser sagen$i$mal eine hermitische Matrix drin.

1. Das$i$wird aus der Heisenbergschen Unschärfegleichung abgeleitet.

2. Was die Bedeutung der$i$dort zu sein, zeigt es mathematisch, „dass ein sehr realer Teil der Zukunft von einem imaginären Teil der Gegenwart abhängt“.

Mit dem Wissen können Sie die Schrödinger-Gleichung herleiten$E=\hbar \omega$und$p=\hbar k$. Nehmen Sie eine allgemeine Welle und wirken Sie mit dem Gradienten oder einer Zeitableitung darauf ein, und Sie erhalten die Energie- und Impulsoperatoren:

$\psi(\vec x, t) = \psi_o e^{i(\vec k x - \omega t)} \\ \nabla \psi = ik\psi \rightarrow \nabla = ip/\hbar \rightarrow \hat p = -i\hbar \nabla \\ \dfrac{\partial \psi}{\partial t} = -i\omega \psi \rightarrow \dfrac{\partial}{\partial t} = -iE/\hbar \rightarrow \hat E = i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}$

Setzen Sie dann die Energie- und Impulsoperatoren in den Hamiltonoperator ein.

$H = T+V \\ \hat E = \dfrac{\hat p^2}{2m}+\hat V \\ i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\psi = \dfrac{-\hbar^2 \nabla^2\psi}{2m}+V\psi$

Voila!