Logarithmus der Operatoren in der Quantenmechanik

Question

Logarithmus der Operatoren in der Quantenmechanik

Physik
Betreiber
Einheitlichkeit
hamiltonisch
Zeitentwicklung
Quantenmechanik

Oder Kedar

In einer Operatorenalgebra $\mathcal{A}$ man kann einen selbstadjungierten (dh reellen) Operator betrachten $H$ und beachte das

U = e^{ich H}

$U=e^{iH}$ existiert und ist einheitlich. Eine mathematische Frage wird sein, ob es einen unitären Operator gibt

U

$U$ ist von dieser Form. Denn es gibt sogar Beispiele, wo

X, Y

$X,Y$ sind selbstadjungiert und

X Y \neq Y X

$XY\neq YX$ Und

e^{ich X} e^{ich Y} \neq e^{ich (X + Y)} .

$e^{iX}e^{iY}\neq e^{i(X+Y)}.$ Ich würde gerne wissen, welche Informationen daraus abgeleitet werden können

U

$U$ indem man weiß, dass es einen Logarithmus gibt

H = \frac{1}{ich} Protokoll U,

$H=\frac{1}{i}\log U,$ und was sind konkrete Anwendungen im QM dafür.

unendlichnull

Können Sie ein Beispiel geben, wo

e^{i X} e^{i Y} \neq e^{i (X + Y)}

$e^{iX} e^{i Y} \neq e^{i(X+Y)}$ ? Ich bin neugierig.

ZeroTheHero

@infinitezero

e^{i α L_{z}} e^{i β L_{y}}

$e^{i\alpha L_z}e^{i\beta L_y}$ ?

Avantgarde

@infinitezero Die gesamte Quantentheorie basiert auf dieser einfachen Ungleichheit. Bediener müssen nicht notwendigerweise pendeln. Siehe en.wikipedia.org/wiki/…

unendlichnull

Eh ja, natürlich, ich habe da einfach gekartoffelt, denke ich.

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Logarithmus der Operatoren in der Quantenmechanik

Können Sie ein Beispiel geben, wo $e^{iX} e^{i Y} \neq e^{i(X+Y)}$ ? Ich bin neugierig.
@infinitezero Die gesamte Quantentheorie basiert auf dieser einfachen Ungleichheit. Bediener müssen nicht notwendigerweise pendeln. Siehe en.wikipedia.org/wiki/…
Eh ja, natürlich, ich habe da einfach gekartoffelt, denke ich.

yuggib · Answer 1

Der Satz von Stone beweist folgendes. Betrachten Sie eine Gruppe von unitären Operatoren $(U(t))_{t\in\mathbb{R}}$ auf einem Hilbert-Raum wirken $\mathscr{H}$ (also befriedigend $U(t+s)=U(t)U(s)$ , mathematischer ausgedrückt ist dies eine einheitliche Darstellung der abelschen Gruppe $\mathbb{R}$ An $\mathscr{H}$ ). Wenn außerdem eine solche Gruppe stark kontinuierlich ist, ist das nämlich für alle so $\psi\in\mathscr{H}$

lim_{T \to 0} “ U (T) ψ - ψ “_{H} = 0,

$\lim_{t\to 0} \, \lVert U(t)\psi-\psi\rVert_{\mathscr{H}}=0\; ,$ dann gibt es einen selbstadjungierten Operator

H

$H$ definiert an

D (H) \subseteq H

$D(H)\subseteq\mathscr{H}$ das erzeugt die Dynamik, also das für alle

ψ \in D (H)

$\psi\in D(H)$

lim_{T \to 0} “ \frac{1}{T} (U (T) - 1) ψ + ich H ψ “_{H} = 0,

$\lim_{t\to 0}\lVert \frac{1}{t}(U(t)-1)\psi+iH\psi\rVert_{\mathscr{H}}=0\; ,$ und für alle

ϕ \in H

$\phi\in \mathscr{H}$ ,

U (t) ϕ = e^{- i t H} ϕ

$U(t)\phi=e^{-itH}\phi$ wobei die rechte Seite durch den Spektralsatz definiert ist. Auch vom Spektraltheorem ist es in diesem Fall "berechtigt" zu schreiben

H = i \ln U (1)

$H=i\ln U(1)$ .

Der obige Satz wird in der Quantenmechanik häufig verwendet, da er den Quanten-Hamiltonoperator (den Generator $H$ ) auf die einheitliche Dynamik, die sie erzeugt (die Gruppe $U(t)$ ). Es gibt Möglichkeiten, den "Logarithmus" eines einzelnen einheitlichen Operators zu nehmen (z. B. mittels einer Cayley-Transformation), jedoch ist dies in der Physik nicht sehr relevant, da die wichtigen Objekte eher einheitliche Darstellungen von Symmetriegruppen als einheitliche Operatoren an sich sind .

Nur eine Bemerkung zum letzten Absatz, die Cayley-Transformation funktioniert nur, wenn das Spektrum von $U$ ist nicht der ganze Kreis und selbst dann kann es einen unbeschränkten Operator erzeugen. Logarithmen existieren jedoch immer noch in einer beliebigen von Neumann-Algebra durch den Borel-Funktionskalkül. In C*-Algebren existieren sie jedoch im Allgemeinen nicht. Siehe math.stackexchange.com/questions/1578279/… Ich stimme jedoch zu, dass dies für die Physik größtenteils irrelevant ist.

wahrscheinlich_jemand · Answer 2

Die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik* wird durch die Wirkung eines einheitlichen Operators dargestellt $U=e^{iHt}$ , Wo $H$ der Hamiltonoperator des betreffenden Systems ist. Normalerweise charakterisieren wir (nicht-relativistische**) Quantensysteme durch ihren Hamilton-Operator; im Prinzip könnte man den Hamilton-Operator eines Systems mit gegebenem Zeitentwicklungsoperator bestimmen*** $U$ indem $\frac{1}{it}\log U$ . In der Praxis ist es aus experimenteller Sicht meist nicht sinnvoll, in diese Richtung zu gehen, weshalb dies nicht oft erwähnt wird.

*In der Quantenmechanik ist die Frage, welche Objekte sich in der Zeit entwickeln, eine Frage der Interpretation. In manchen Fällen ist es einfacher, sich die Wellenfunktionen als sich mit der Zeit entwickelnd vorzustellen (das „Schrödinger-Bild“), in anderen Fällen ist es einfacher, sich die Operatoren als sich mit der Zeit entwickelnd vorzustellen (das „Heisenberg-Bild“), und in noch anderen Fällen Fällen ist am einfachsten eine Mischung aus beidem (das "Interaktionsbild").

**Der Hamiltonoperator ist nicht Lorentz-invariant, weshalb man ihn in der relativistischen Quantenmechanik/QFT nicht oft sieht. Der Lagrangian hingegen schon.

*** Der Log ist nicht unbedingt eindeutig, daher kann der Hamilton-Operator nur bis zum Äquivalent einer Wahl des Zweigschnitts "bestimmt" werden.

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yuggib

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