Anti-Unitary-Operator und Hamiltonian

Ein unitärer Operator ist ein linearer surjektiver Operator$U : {\cal H} \to {\cal H}$das die Norm bewahrt. Es ist äquivalent zu$U^*=U^{-1}$, nämlich$UU^*=U^*U=I$, Wo$U^*$bezeichnet fortan den Adjunkten von$U$.

Ein anti- unitärer Operator ist ein anti- linearer surjektiver Operator$U : H \to H$das die Norm bewahrt. Es ist äquivalent zu$U$bijektiv so dass

$$\langle U\psi|\phi\rangle = \overline{\langle \psi| U\phi\rangle}\:,\quad \forall \psi, \phi \in {\cal H}\:.$$ Nehmen wir nun an, dass dies in beiden Fällen für alle gilt$t\in \mathbb{R}$ $$U e^{-itH} = e^{-itH}U\:.$$ Durch Auftragen$U^{-1}$rechts erhalten wir die äquivalente Bedingung $$Ue^{-itH} U^{-1}= e^{-itH}\:.\tag{1}$$ Aus der Spektralrechnung oder anderen elementareren Verfahren, z. B. dem Expandieren der Exponentialfunktion als Reihe if$H$ist begrenzt und achtet darauf$U i H = -iUH$im Hinblick auf Antilinearität von$U$wenn dies der Fall ist, folgt (1). $$e^{\mp itUHU^{-1}} = e^{-itH}\:.$$ Berechnung der Ableitung bei$t=0$(Theorem von Stone) beider Seiten (auf dem relevanten dichten Bereich von$H$was sich als invariant unter herausstellt$U^{-1}$, bilden direkt den Eindeutigkeitsteil von Stones Theorem): $$\pm UHU^{-1} = H\:,$$ das ist $$UHU^{-1} = \pm H\:,\tag{2}$$ wo das Zeichen$-$ist dem antiunitären Fall vorbehalten. Im Falle eines einheitlichen Operators haben wir das auch gefunden $$UHU^{*} = H$$ Weil$U^*=U^{-1}$. Im Falle einer Antiunitary$U$, mit einer passenden Definition ($\dagger$) des adjungierten Operators für antilineare Operatoren können wir (2) äquivalent umschreiben als $$UHU^{*} = -H\:.$$

Die Definition des Adjungierten eines antiunitären Operators ist jedoch normalerweise heikel und meiner persönlichen Erfahrung nach eine Quelle von Fehlern. Der Umgang mit Symmetrien ist viel besser zu verwenden$U^{-1}$in beiden Fällen anstelle von$U^*$.

---

$(\dagger)$ $\langle \psi|A \phi\rangle = \overline{\langle A^*\psi| \phi\rangle}$für alle$\psi,\phi\in {\cal H}$vorausgesetzt$A$überall definiert und antilinear.

Es gibt ein paar verwirrende (oder sogar falsche?) Punkte in dem Beitrag. Erstens nehme ich an$U^*$bedeutet$U^\dagger$, der Adjunkt von$U$. Eine einheitliche Symmetrie bedeutet$UHU^\dagger=H$.

Ein anti-unitärer Operator ist zunächst einmal ein anti-linearer statt eines linearen Operators. Wenn$U$antieinheitliche Symmetrie ist, dann hat man noch$UHU^\dagger=H$, sollte kein zusätzliches Minuszeichen vorhanden sein. Die Definition von adjungiert für antilineare Operatoren unterscheidet sich jedoch von der eines linearen Operators.

Bearbeiten: Die andere Antwort ist richtig. Normalerweise nehmen wir auch für eine Zeitumkehrsymmetrie (was der häufigste Weg ist, eine anti-unitäre Symmetrie zu erhalten).$t$Zu$-t$So$UHU^\dagger=H$. Aber falls$U$ist nur anti-unitary ohne$t$gehen zu$-t$, dann weil$Ui=-iU$wir haben das zusätzliche Minuszeichen.