Wann ist eine Kronecker-Summe im Vergleich zu einem Tensorprodukt von Hamiltonoperatoren zu verwenden?

Question

Wann ist eine Kronecker-Summe im Vergleich zu einem Tensorprodukt von Hamiltonoperatoren zu verwenden?

Sonneneruption0

Lassen $H_1$ Und $H_2$ seien Hamiltonoperatoren auf Hilbert-Räumen $\mathcal{H}_1$ Und $\mathcal{H}_2$ . Meine Frage betrifft im Allgemeinen, wie man einen Hamilton-Operator auf dem Hilbert-Raum des Tensorprodukts bilden würde

H = H_{1} \otimes H_{2} .

$\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2.$ Der offensichtlichste Weg ist für mich, das Tensorprodukt von Hamiltonianern zu nehmen:

H_{T} = H_{1} \otimes H_{2} .

$H_t = H_1 \otimes H_2.$ Ich finde jedoch, dass in den meisten physikalischen Anwendungen, z. B. wenn man offene Quantensysteme oder viele Körperphysik untersucht, die Kronecker-Summe normalerweise als Hamilton-Operator im Tensorproduktraum verwendet wird:

H_{k} = H_{1} \otimes {ICH}_{2} + {ICH}_{1} \otimes H_{2},

$H_k = H_1\otimes I_2 + I_1\otimes H_2,$ Wo

I_{1, 2}

$I_{1,2}$ sind Identitätsoperatoren auf

H_{1, 2}

$\mathcal{H}_{1,2}$ .

Ich bin mir der mathematischen Unterschiede zwischen diesen beiden Konstruktionen bewusst, aber meine Frage ist: Kann jemand eine physikalische Intuition dafür liefern, wie sich diese Hamiltonianer unterscheiden, und unter welchen Umständen würde ich eine über der anderen verwenden?

Marsch

Die beiden repräsentieren unterschiedliche Dinge. Der erste repräsentiert einen Wechselwirkungsterm zwischen zwei Quantensystemen, und der zweite repräsentiert die freien Hamiltonoperatoren jedes Systems separat. (So könnte z. B. die zweite die kinetische und potentielle Energie zweier einzelner Oszillatoren sein, und dann könnte die erste den Wechselwirkungs-Hamilton-Operator darstellen, wenn z. B. die beiden Oszillatoren durch eine Feder verbunden sind).

Sonneneruption0

Das ist ein Teil dessen, was mich verwirrt. Wenn ich einen nicht verschränkten Zustand repariere

| Ψ ⟩ = | ψ_{1} ⟩ | ψ_{2} ⟩

$|\Psi\rangle = |\psi_1\rangle|\psi_2\rangle$ , Dann

H_{t} | Ψ ⟩

$H_t|\Psi\rangle$ ist nicht verstrickt, aber

H_{k} | Ψ ⟩

$H_k|\Psi\rangle$ könnte verstrickt sein. So

H_{t}

$H_t$ beschreibt ein interagierendes System, sondern Evolution durch

H_{t}

$H_t$ kann keine Verwicklung verursachen, und

H_{k}

$H_k$ beschreibt ein nicht-interagierendes System, sondern Evolution durch

H_{k}

$H_k$ kann zu Verstrickungen führen. Es scheint durch dieses Argument, dass

H_{t}

$H_t$ sollte ein nicht-interagierendes System beschreiben und

H_{k}

$H_k$ soll ein interagierendes System beschreiben?

Marsch

Ich verstehe! Ich denke, ich kann das auf einfache Weise für Sie klären. Gebt mir ein paar Minuten, und ich schreibe eine Antwort.

Sonneneruption0

@J.Murray Ah ja, da habe ich einen Fehler gemacht. Ich habe das heraus bearbeitet. Danke für die Klarstellung.

Antworten (1)

Wann ist eine Kronecker-Summe im Vergleich zu einem Tensorprodukt von Hamiltonoperatoren zu verwenden?

Die beiden repräsentieren unterschiedliche Dinge. Der erste repräsentiert einen Wechselwirkungsterm zwischen zwei Quantensystemen, und der zweite repräsentiert die freien Hamiltonoperatoren jedes Systems separat. (So könnte z. B. die zweite die kinetische und potentielle Energie zweier einzelner Oszillatoren sein, und dann könnte die erste den Wechselwirkungs-Hamilton-Operator darstellen, wenn z. B. die beiden Oszillatoren durch eine Feder verbunden sind).
Das ist ein Teil dessen, was mich verwirrt. Wenn ich einen nicht verschränkten Zustand repariere $|\Psi\rangle = |\psi_1\rangle|\psi_2\rangle$ , Dann $H_t|\Psi\rangle$ ist nicht verstrickt, aber $H_k|\Psi\rangle$ könnte verstrickt sein. So $H_t$ beschreibt ein interagierendes System, sondern Evolution durch $H_t$ kann keine Verwicklung verursachen, und $H_k$ beschreibt ein nicht-interagierendes System, sondern Evolution durch $H_k$ kann zu Verstrickungen führen. Es scheint durch dieses Argument, dass $H_t$ sollte ein nicht-interagierendes System beschreiben und $H_k$ soll ein interagierendes System beschreiben?
Ich verstehe! Ich denke, ich kann das auf einfache Weise für Sie klären. Gebt mir ein paar Minuten, und ich schreibe eine Antwort.
@J.Murray Ah ja, da habe ich einen Fehler gemacht. Ich habe das heraus bearbeitet. Danke für die Klarstellung.

Marsch · Answer 1

Die beiden unterschiedlichen Hamiltonschen Formen repräsentieren unterschiedliche physikalische Dinge. Die erste, gegeben von

\begin{matrix} (1) & {\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{ICH}}_{2} + {\hat{ICH}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2}, \end{matrix}

$\hat{H}_1\otimes\hat{I}_2+\hat{I}_1\otimes\hat{H}_2\tag{1},$ stellt die freien Hamiltonoperatoren jedes Systems separat dar, und die zweite, gegeben durch

\begin{matrix} (2) & {\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2}, \end{matrix}

$\hat{H}_1\otimes\hat{H}_2\tag{2},$ repräsentiert einen Wechselwirkungsterm zwischen zwei Quantensystemen. (So könnte z. B. der erste die kinetische und potentielle Energie zweier einzelner Oszillatoren sein, und der zweite könnte dann den Hamilton-Operator der Wechselwirkung darstellen, wenn z. B. die beiden Oszillatoren durch eine Feder verbunden sind).

Wichtig ist, dass Hamiltonoperatoren der Form (1) unverschränkte Zustände in unverschränkte entwickeln, aber Hamiltonoperatoren der Form (2) können unverschränkte Zustände in verschränkte entwickeln. Um dies zu sehen, betrachten Sie die folgenden Berechnungen.

Betrachten Sie zwei von Hamiltonianern beschriebene Quantensysteme $H_1$ Und $H_2$ , deren Eigensysteme getrennt durch beschrieben werden

{\hat{H}}_{1} | ψ_{N} ⟩ = ϵ_{N} | ψ_{N} ⟩, {\hat{H}}_{2} | ϕ_{N} ⟩ = μ_{N} | ϕ ⟩ .

$\hat{H}_1|\psi_n\rangle = \epsilon_n|\psi_n\rangle,~~~~~\hat{H}_2|\phi_n\rangle = \mu_n|\phi\rangle.$ Betrachten wir zuerst Fall 1, in dem der kombinierte Hamiltonoperator des kombinierten Systems zufällig ist

\begin{matrix} (1) & {\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{ICH}}_{2} + {\hat{ICH}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2} \end{matrix}

$\begin{equation} \hat{H}_1\otimes\hat{I}_2+\hat{I}_1\otimes\hat{H}_2\tag{1} \end{equation}$ Dann sind die Eigenzustände dieses Operators das Produkt der Eigenzustände der einzelnen Hamiltonoperatoren, und die Eigenwerte sind Summen der einzelnen Eigenwerte, was wir durch Berechnung zeigen können

({\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{ICH}}_{2} + {\hat{ICH}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2}) (| ψ_{N} ⟩ \otimes | ϕ_{M} ⟩) = (ϵ_{N} + μ_{M}) (| ψ_{N} ⟩ \otimes | ϕ_{M} ⟩) .

$\left(\hat{H}_1\otimes\hat{I}_2+\hat{I}_1\otimes\hat{H}_2\right)\left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right) =(\epsilon_n+\mu_m)\left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right).$ (Die Details beinhalten nur die Verwendung von Linearität.) Nun, bei einem beliebigen unverschränkten Anfangszustand

| Ψ (0) ⟩

$|\Psi(0)\rangle$ , kann als Produkt von Vektoren geschrieben werden, die in den einzelnen Energieeigenbasen entwickelt wurden als

| Ψ (0) ⟩ = (\sum_{N} A_{N} | ψ_{N} ⟩) \otimes (\sum_{M} B_{N} | ϕ_{M} ⟩) = \sum_{N M} A_{N} B_{M} (| ψ_{N} ⟩ \otimes | ϕ_{M} ⟩) .

$|\Psi(0)\rangle = \left(\sum_{n}a_{n}|\psi_n\rangle\right)\otimes\left( \sum_{m}b_n|\phi_m\rangle\right) = \sum_{nm}a_nb_m \left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right).$ Wir können dann die volle Zeitabhängigkeit erhalten, indem wir die Exponentialfaktoren auf die übliche Weise an die Eigenvektoren anhängen, was ergibt

| Ψ (T) ⟩ = \sum_{N M} e^{- ich (ϵ_{N} + μ_{M}) T / ℏ} A_{N} B_{M} (| ψ_{N} ⟩ \otimes | ϕ_{M} ⟩) .

$|\Psi(t)\rangle = \sum_{nm}e^{-i(\epsilon_n+\mu_m)t/\hbar}a_nb_m \left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right).$ Entscheidend ist, dass dieser Zustand Faktoren wie

| Ψ (T) ⟩ = (\sum_{N M} e^{- ich ϵ_{N} T / ℏ} A_{N} | ψ_{N} ⟩) \otimes (\sum_{M} e^{- ich μ_{M} T / ℏ} B_{M} | ϕ_{M} ⟩),

$|\Psi(t)\rangle=\left(\sum_{nm} e^{-i\epsilon_nt/\hbar} a_n|\psi_n\rangle\right)\otimes\left( \sum_{m} e^{-i\mu_mt/\hbar} b_m|\phi_m\rangle\right),$ Wenn also das System entwirrt gestartet wurde, bleibt es unverwirrt. Dies ist lediglich eine Folge der Tatsache, dass der Hamiltonoperator eine Summe von Einsystem-Hamiltonoperatoren ist, weil dies dazu führt, dass die Eigenenergien Summen der einzelnen sind, was es uns erlaubt, die Exponentialfunktion zu faktorisieren.

Nun, um zu sehen, dass das im Fall eines Hamilton-Operators der zweiten Form, gegeben durch, nicht funktioniert

\begin{matrix} (2) & {\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2}, \end{matrix}

$\hat{H}_1\otimes\hat{H}_2\tag{2},$ Wir stellen zunächst fest, dass das Produkt von Eigenvektoren immer noch ein Eigenvektor ist, aber die Eigenwerte jetzt Produkte der einzelnen Eigenwerte sind, dh

({\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2}) (| ψ_{N} ⟩ \otimes | ϕ_{M} ⟩) = (ϵ_{N} μ_{M}) (| ψ_{N} ⟩ \otimes | ϕ_{M} ⟩) .

$\left(\hat{H}_1\otimes\hat{H}_2\right)\left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right) =(\epsilon_n\mu_m)\left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right).$ Beginnen wir wieder mit dem oben gezeigten anfänglich unverschränkten Zustand, so ist der volle zeitabhängige Zustand gegeben durch

| Ψ (T) ⟩ = \sum_{N M} e^{- ich (ϵ_{N} μ_{M}) T / ℏ} A_{N} B_{M} (| ψ_{N} ⟩ \otimes | ϕ_{M} ⟩),

$|\Psi(t)\rangle = \sum_{nm}e^{-i(\epsilon_n\mu_m)t/\hbar}a_nb_m \left(|\psi_n\rangle\otimes|\phi_m\rangle\right),$ was nicht mehr pauschal berücksichtigt werden kann!

Dies kann auch durch direktes Potenzieren der Hamilton-Operatoren gesehen werden, um die unitären Zeitentwicklungsoperatoren zu erhalten. Für Hamiltonoperatoren der Form (1) ist der Zeitentwicklungsoperator

U_{1} (T) = \exp (- \frac{ich T}{ℏ} ({\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{ICH}}_{2} + {\hat{ICH}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2})) = \exp (- \frac{ich T}{ℏ} {\hat{H}}_{1} \otimes {\hat{ICH}}_{2}) \exp (- \frac{ich T}{ℏ} {\hat{ICH}}_{1} \otimes {\hat{H}}_{2}),

$U_1(t) = \exp\left( -\frac{it}{\hbar} (\hat{H}_1\otimes\hat{I}_2+\hat{I}_1\otimes\hat{H}_2) \right) = \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_1\otimes\hat{I}_2 \right) \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{I}_1\otimes\hat{H}_2 \right),$ was erlaubt ist, weil die beiden Operatoren miteinander pendeln. Darüber hinaus ist es relativ einfach zu zeigen, dass dies geschrieben werden kann als

U_{1} (T) = (\exp (- \frac{ich T}{ℏ} {\hat{H}}_{1}) \otimes {\hat{ICH}}_{2}) ({\hat{ICH}}_{1} \otimes \exp (- \frac{ich T}{ℏ} {\hat{H}}_{2})) = \exp (- \frac{ich T}{ℏ} {\hat{H}}_{1}) \otimes \exp (- \frac{ich T}{ℏ} {\hat{H}}_{2}) .

$U_1(t) = \left( \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_1 \right) \otimes\hat{I}_2\right) \left(\hat{I}_1\otimes \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_2 \right)\right) = \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_1 \right) \otimes \exp\left( -\frac{it}{\hbar} \hat{H}_2 \right).$ Somit kann man sehen, dass dieser Zeitentwicklungsoperator "die Entwirrtheit bewahrt". Der andere faktorisiert nicht auf die gleiche Weise.

Danke für die tolle Antwort! Es scheint also, dass die Unitarier bezüglich Verschränkung ein entgegengesetztes Verhalten zeigen als die Hamiltonianer, da z $|\Psi(0)\rangle$ entwirrt haben wir: $H_t|\Psi(0)\rangle$ während entwirrt ist $U_t|\Psi(0)\rangle$ verstrickt ist, während $H_k|\Psi(0)\rangle$ ist dabei verstrickt $U_k|\Psi(0)\rangle$ ist entwirrt. Aber ich denke, es ist sinnvoller, sich die Unitare anzusehen, wenn man untersucht, wie der Hamiltonian Zustände verschränkt.
Das scheint mir richtig! Hamiltonianer allein können keine Zustände verschränken, da der Prozess der Verschränkung eindeutig einen physikalischen Prozess erfordert, der einige Zeit in Anspruch nimmt. Es ist also notwendig, die Zeitentwicklungseinheiten zu studieren. In jedem Fall entspricht die Wirkung eines beliebigen Operators auf einen Quantenzustand keinem physikalischen Prozess, es sei denn, der Operator ist ein (einheitlicher) Zeitentwicklungsoperator oder der Operator (der tatsächlich allgemein auf Dichtematrizen wirkt) ist Mitglied von ein POVM (in diesem Fall entspricht der Operator einem Messvorgang.)
Das Tensorprodukt ergibt ein Produkt aus Eigenwerten, während die Tensorsumme eine Summe bildet (Hinweis: Die Summe des Operators (Matrix) ergibt keine Summe der Eigenwerte). Bedeutet das, dass wenn man die Eigenwerte der kinetischen und potentiellen Energie summiert, es lautet: $(-\frac{\hbar^2\partial^2}{2m\partial x^2}+V(y))u(x,y)=Eu(x,y)$ für ein einzelnes Teilchen?
Ich konzentriere mich auf den Unterschied zwischen Matrizen sum bzw. Kronecker-Summe : sollen wir Operatoren bzw. oder addieren wir ihre Messergebnisse (Eigenwerte) ?

Wann ist eine Kronecker-Summe im Vergleich zu einem Tensorprodukt von Hamiltonoperatoren zu verwenden?

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