Kann der Hamilton-Operator auf einen BH wirken, wenn er einmal auf einen Ket wirkte?

Ja, es ist legal.

Um eine Motivation dafür zu geben, warum diese Art von Integral-einer-Ableitung-Operator in der von Ihnen in Betracht gezogenen Weise vereinfachen könnte, betrachten wir ein sehr einfaches Beispiel, das weit entfernt von unseren normalen Bedenken ist, Wellenfunktionen zu normalisieren und sicherzustellen, dass die Dinge hermitesch sind: Angenommen Ihr Betreiber ist$\partial_x$und dein BH ist$x^2$, und wir ignorieren die Tatsache, dass die Dinge für den Moment komplex sein können: dann handeln wir nach Willkür$f$wir schreiben die linke Seite als Abkürzung für die rechte Seite in:

$$\langle x^2\rvert\partial_x\lvert f\rangle = \int_{-\infty}^\infty dx~x^2 f'(x).$$ Aber nach der partiellen Integration hätten wir natürlich $$\begin{align} \langle x^2\rvert\partial_x\lvert f\rangle &= \left[x^2 f(x)\right]_{-\infty}^\infty -\int_{-\infty}^\infty dx~2x f(x) \\ &= \langle -2x\rvert f\rangle, \end{align}$$ unter der Annahme geeigneter Zerfallseigenschaften von$f$im Unendlichen, um den Grenzterm zu entfernen. Daher kann ein Integral von Ableitungen manchmal in ein äquivalentes einfaches Integral gezwungen werden. Und Sie können auch sehen, dass wir etwas haben, das fast wie die Ableitung der linken Seite aussieht, aber ein frustrierendes Minuszeichen hat.

Die spezifische Eigenschaft, auf die wir hier abzielen, ist die hermitische oder selbstadjungierte Eigenschaft, die dies aussagt$H = H^\dagger$, oder in mathematischer Notation that

$$\langle H \phi, \psi\rangle = \langle \phi, H \psi\rangle.$$ Dies ist keine triviale Eigenschaft und oben haben wir das gerade gesehen$\partial_x$allein erfüllt diese Eigenschaft nicht; es erfüllt eine verwandte Eigenschaft, in der es als anti-selbstadjungiert oder schief-hermitisch oder so bezeichnet wird,$\nabla^\dagger = -\nabla.$Das kennst du vielleicht schon$p$wie es ein Operator tut, was bedeutet, dass$i \partial_x$hat diese Eigenschaft, wenn wir mit unseren Negativen vorsichtig sind, weil das negative Vorzeichen in die komplexe konjugierte Operation aufgenommen wird: $$\begin{align} \langle \phi|i\partial_x|\psi\rangle &= \int dx~\phi^*(x)~i\partial_x~\psi(x) \\&= i[\phi^* \psi] - \int dx~\psi(x)~i\partial_x\phi^*(x) \\&= +\int dx~\psi(x)~ (i \partial_x \phi(x))^* \\&= \langle i\partial_x\phi|\psi\rangle. \end{align}$$ (Dies ist in der Notation der Mathematiker etwas einfacher zu sehen,$\langle \phi, i\nabla\psi\rangle = i\langle\phi,\nabla\psi\rangle =i\langle-\nabla\phi,\psi\rangle$durch das, was wir gerade bewiesen haben, und dann ist der Rest gerecht$=\langle-(-i)\nabla\phi, \psi\rangle = \langle i\nabla\phi,\psi\rangle.$Als Folge davon kann jeder anti-selbstadjungierte Operator durch Multiplikation mit selbstadjungiert werden$\pm i$und umgekehrt.)

Der Grund, warum wir uns um diese Eigenschaft kümmern, ist, dass wir in der Quantenmechanik wollen, dass alle unsere Vorhersagen Erwartungswerte der Form sind

$$\langle A\rangle_\psi = \langle \psi| A|\psi\rangle.$$ Nehmen Sie das komplexe Konjugat und erinnern Sie sich daran$\big(\langle a | b | c\rangle\big)^* = \langle c|b^\dagger |a\rangle$wir finden, dass das komplexe Konjugat dieses Ausdrucks ist $$\langle A\rangle_\psi^* = \langle \psi|A^\dagger|\psi\rangle,$$ Wenn wir also eine reellwertige Observable wollen, deren Vorhersagen unabhängig vom Zustand immer gleich ihrer komplex Konjugierten sind, müssen wir verlangen, dass eine solche Observable selbstadjungiert ist.

Die Regeln über die Adjungierten von Operatoren sind sehr einfach,$(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger$Und$(A + B)^\dagger = A^\dagger + B^\dagger$, so dass Sie Produkte von selbstadjungierten Operatoren nehmen können, um neue selbstadjungierte Operatoren zu erhalten, nur wenn die beiden vertauschen, und Sie können beliebige Summen von selbstadjungierten Operatoren nehmen. Also Ihr typischer Einteilchen-Hamiltonoperator$H = -(\hbar^2/2m) \nabla^2 + U(\vec r)$, ist offensichtlich selbstadjungiert, weil klar$-\nabla^2$ist das Produkt zweier selbstadjungierter Operatoren$(i\nabla)\cdot(i\nabla)$und jeder Operator pendelt mit sich selbst, plus$U(x)$ist offensichtlich selbstadjungiert, und schließlich ist die Summe selbstadjungiert.

Diese Eigenschaften lassen uns das so selbstbewusst behaupten$\langle \psi_k|H = E_k \langle \psi_k|,$Wir wissen das$H|\psi_k\rangle = E_k|\psi_k\rangle$auf der rechten Seite, aber da$H$selbstadjungiert ist, wissen wir, dass wir es genauso gut auf die linke Seite anwenden können, um eine reelle Zahl zu erhalten$E_k$.

Die vollständige Herleitung lautet wie folgt:

$\dot{H}(t)|\psi_n(t)\rangle+H(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle=\dot{E}_n(t)|\psi_n(t)\rangle+E_n(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle\\ \Leftrightarrow \langle\psi_k(t)|\dot{H}(t)|\psi_n(t)\rangle + \langle\psi_k(t)|H(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle = \langle\psi_k(t)|\dot{E}_n(t)|\psi_n(t)\rangle + \langle\psi_k(t)|E_n(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle \\ \Leftrightarrow \langle\psi_k(t)|\dot{H}(t)|\psi_n(t)\rangle + E_k(t)\langle\psi_k(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle = \dot{E}_n(t)\langle\psi_k(t)|\psi_n(t)\rangle + E_n(t)\langle\psi_k(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle \\ \Leftrightarrow\langle\psi_k(t)|\dot{H}(t)|\psi_n(t)\rangle + E_k(t)\langle\psi_k(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle=E_n(t)\langle\psi_k(t)|\dot{\psi}_n(t)\rangle$

wo wir ersetzen$\langle\psi_k(t)|H(t)$mit$E_k(t)\langle\psi_k(t)|$Und$\dot{E}_n(t)\langle\psi_k(t)|\psi_n(t)\rangle =0$Weil$k \ne n$also Eigenvektoren$|\psi_k(t)\rangle$Und$|\psi_n(t)\rangle$sind orthogonal.

Erinnere dich daran$E_n(t)$Und$E_k(t)$sind Eigenwerte also reelle Zahlen, also kommutieren sie mit$\langle\psi_k(t)|$, und sie sind gleich ihren komplexen Konjugaten.

Im ersten Semester$\dot H(t)$arbeitet mit dem Ket-Vektor$|\psi_n(t)\rangle$um einen weiteren Ket-Vektor zu erzeugen$\dot{H}(t)|\psi_n(t)\rangle$. Wir nehmen dann das innere Produkt davon mit dem BH-Vektor$\langle\psi_k(t)|$.