Ist die Notation von Dirac wirklich notwendig?

Eine Sache, die mich in Diracs Notation immer gestört hat, ist, dass sie davon ausgeht, dass der Hilbert-Raum eine "Kontinuumsbasis" von Vektoren enthält | X ⟩ , die zufällig Eigenvektoren eines Operators sind X (das keine Eigenwerte hat, nur ein kontinuierliches Spektrum, das den gesamten Raum überspannt). Ihr inneres Produkt ist verteilungsbewertet, mit ⟨ X ' | X ⟩ = δ ( X ' − X ) . Es gibt auch die kryptische Normalisierungseigenschaft: ∫ | X ⟩ ⟨ X | D X = ICH D . Laut dieser Frage können einige davon nicht einmal mit so etwas wie dem Konzept der "Rigged Hilbert Spaces" streng gemacht werden.

Gibt es also einen anderen Ansatz für die Quantenmechanik im Allgemeinen, der dieses Problem vollständig umgeht, ohne an Beschreibungskraft einzubüßen?

Die Verwendung dieser kontinuierlichen Basis ist nicht wirklich ein Merkmal der Notation als solche - Vektoren nicht als Bras und Kets zu schreiben, würde keinem Physiker die Verwendung der Positionsbasis verbieten. Der „Ansatz“ zur Quantenmechanik, der dieses Problem umgeht oder nur seine strengen Teile verwendet, ist einfach „rigorose“ oder „mathematische“ Quantenmechanik. Ich bin mir nicht ganz sicher, nach welcher Art von Antwort Sie auf diese Frage suchen - die genaue Art und Weise, einen bestimmten Schritt streng zu gestalten, hängt von dem Schritt ab.
Ich verstehe diese Fragen nicht, weil ich die ganze Zeit Bra-Key-Notation für Vektoren in einem endlichdimensionalen Vektorraum verwende.
@DanielSank Das OP fragt nicht nach endlichdimensionalen Vektorräumen. In Bezug auf die Anmerkung von ACuriousMind habe ich den Eindruck, dass das OP fragt, ob alternative Formulierungen von QM möglich sind, die die Verwendung einer solchen Kontinuumsbasis insgesamt vermeiden. Nicht, dass ich darauf eine sinnvolle Antwort geben könnte.
@JanBos Ich denke, Daniel lehnt nur eine zu breite Aussage zu Diracs Notation ab. Es gibt nichts, was von Natur aus eine kontinuierliche Basis voraussetzt, noch ist es notwendig, Quantenmechanik mit Operatoren zu betreiben, die kontinuierliche Spektren haben (ungeachtet der Schwierigkeiten mit der Strenge, die die Arbeit in jeder Notation begleiten).
Die Notation von Dirac ist nur eine halbwegs strenge bequeme Notation , die dabei hilft, einige Berechnungen schneller zu machen; es ist für die Formulierung der Quantenmechanik nicht notwendig. Tatsächlich kann die Quantenmechanik ohne Probleme streng formuliert werden, indem anspruchsvollere mathematische Werkzeuge (wie C*-Algebren von Observablen) verwendet werden.

Antworten (1)

Das Problem liegt meines Erachtens nicht in der Notation als solcher, sondern in dem untersuchten physikalischen Szenario. Die Raumzeit ist kontinuierlich unendlich. Daher benötigt man eine Basis, die auch kontinuierlich und unendlich ist. Unabhängig davon, wie man eine solche Basis in Form einer Notation darstellen würde, müsste ihre Orthogonalitätsbedingung zwangsläufig eine Dirac-Delta-Funktion enthalten. Am Ende kann man vor Leuten wie Dirac den Hut ziehen, der ein mathematisches System erfunden hat, das es ermöglicht, Berechnungen durchzuführen, die zu Vorhersagen führen können, die wiederum in Experimenten überprüft werden können. Die bloße Tatsache, dass solche Vorhersagen oft mit diesen experimentellen Ergebnissen übereinstimmen, scheint darauf hinzudeuten, dass diese Art der Berechnung dieser Größen mit diesem mathematischen Formalismus bis zu einem gewissen Grad korrekt sein muss. Es wird dann zu einer Herausforderung für die Mathematiker, ein axiomatisches System zu entwickeln, das auf konsistente Weise zu diesem Formalismus führen kann. Dies impliziert oft, dass man die Begriffe Integrale, Vektorräume und dergleichen erweitern müsste, damit der Formalismus im streng mathematischen Sinne funktionieren kann. Ob dies der Fall ist oder nicht, hindert Physiker normalerweise nicht daran, den Formalismus zu verwenden.

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