Unterschied zwischen |ψ⟩⟨ψ||ψ⟩⟨ψ| \links | \psi \right > \left < \psi \right| und ⟨ψ|ψ⟩⟨ψ|ψ⟩ \left < \psi \right | \links . \psi \right>

Im Allgemeinen die Gleichung$|\psi\rangle\langle\psi|=1$ist falsch: Sie müssen über einen vollständigen Satz von Zuständen summieren:

$$\sum_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|=1$$

Zum Beispiel ist eine bequeme Menge vollständiger Zustände durch die übliche Positionsbasis gegeben,$|\psi_i\rangle=|q\rangle$, wobei die Summe eigentlich ein Integral ist:

$$\int\mathrm dq\ |q\rangle\langle q|=1$$

Andererseits ist Ihre zweite Gleichung in Ordnung, aber die erste nicht: Sie sollte lauten

$$|\psi\rangle\langle\psi|=\left[\overbrace{\int\mathrm dq\ |q\rangle\langle q|}^1\right]|\psi\rangle\langle\psi|\left[\overbrace{\int\mathrm dq'\ |q'\rangle\langle q'|}^1\right]=\int\mathrm dq\,\mathrm dq'\ \psi(q)\psi^*(q')\ |q\rangle\langle q'|$$ was nicht weiter vereinfacht werden kann. Eine einfache Möglichkeit zu verstehen, warum Ihre zweite Gleichung im Allgemeinen falsch ist, besteht darin, dies zu beachten $|\psi\rangle$ist ein Vektor, und daher $|\psi\rangle\langle\psi|$ist ein Operator. Andererseits ist die rechte Seite Ihrer zweiten Gleichung ein Skalar, und daher kann die Gleichung nicht gelten.

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Es gibt eine gewisse Analogie (die ich nicht wirklich mag), die Ihnen helfen kann zu verstehen, was vor sich geht. Wenn wir an einen endlichdimensionalen Vektorraum denken, dann gibt es eine gewisse Entsprechung zwischen Kets und Spaltenvektoren und Bras und Zeilenvektoren:

$$|\psi\rangle\sim\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2\\ \psi_3\end{pmatrix}\qquad\qquad\langle\psi|\sim\begin{pmatrix}\psi_1^*&\psi_2^*&\psi_3^*\end{pmatrix}$$

In diesem Fall,

$$\langle\psi|\psi\rangle=\begin{pmatrix}\psi_1^*&\psi_2^*&\psi_3^*\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2\\ \psi_3\end{pmatrix}=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+|\psi_3|^2\in\mathbb R$$

Andererseits,

$$|\psi\rangle\langle|\psi|\sim\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2\\ \psi_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi_1^*&\psi_2^*&\psi_3^*\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} |\psi_1|^2&\psi_1\psi_2^*&\psi_1\psi_3^*\\ \psi_2\psi_1^*&|\psi_2|^2&\psi_2\psi_3^*\\ \psi_3\psi_1^*&\psi_3\psi_2^*&|\psi_3|^2 \end{pmatrix}$$ ist eine Matrix, und daher macht es einfach keinen Sinn, es anzugeben $|\psi\rangle\langle\psi|=\langle\psi|\psi\rangle$: Beide Seiten sind unterschiedliche Objekte, und sie leben in unterschiedlichen Räumen.