Verwendung von Tensorprodukten in der Braket-Notation

Question

Verwendung von Tensorprodukten in der Braket-Notation

Invenietis

Ich versuche, den Erwartungswert des Operators zu finden $\hat W(x_1,x_2)=\hat x_1 \hat x_2$ in Bezug auf die Eigenzustände eines Systems, das aus zwei eindimensionalen harmonischen Quantenoszillatoren besteht. Der Eigenzustand des Gesamtsystems wird sein $|n_1n_2\rangle=|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle$ , mit $|n_1\rangle$ , $|n_2\rangle$ die Eigenzustände jedes einzelnen Oszillators, also der Erwartungswert, sein

((| N_{1} ⟩ \otimes | N_{2} ⟩)^{†}, \hat{W} (| N_{1} ⟩ \otimes | N_{2} ⟩))

$\left((|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle )^\dagger,\hat W(|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle) \right)$ Dabei sind mir zwei Fragen aufgefallen:

Entspricht der BH einem Ket, das aus einem Tensorprodukt gebildet wird, nur das Tensorprodukt der BHs, $\left(|n_1 n_2\rangle \right)^\dagger=\left(|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle \right)^\dagger=\langle n_1| \otimes \langle n_2| =\langle n_1 n_2|$ ?
Sind Operatoren, die verschiedenen Hilbert-Räumen entsprechen, assoziativ in Bezug auf das Tensorprodukt verschiedener Zustände? Das ist, $\hat x_1 \hat x_2 (|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle)=\hat x_1 |n_1\rangle \otimes\hat x_2 |n_2\rangle?$
Wie verhalten sich die inneren Produkte bezüglich der Tensorprodukte? Wäre es gerecht $\big(\langle n_1| \otimes \langle n_2|\big) \big(\hat x_1 |n_1\rangle \otimes\hat x_2 |n_2\rangle \big)= \langle n_1|\hat x_1 |n_1\rangle\otimes\ \langle n_2|\hat x_2 |n_2\rangle$ ?

Frobenius

Nicht streng verwandt : Gesamtspin von zwei Spin-1/2 Teilchen .

Antworten (2)

Verwendung von Tensorprodukten in der Braket-Notation

Nicht streng verwandt : Gesamtspin von zwei Spin-1/2 Teilchen .

Tobias Fünke · Answer 1

Die Antwort auf Ihre erste Frage lautet ja, siehe zum Beispiel Gleichungen $(1.32)-(1.36)$ in diesen Vorlesungsunterlagen .

Betrachten Sie zur Beantwortung der zweiten Frage einen zweigeteilten Hilbert-Raum $\mathscr{H} \equiv \mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_2$ und lass $o_1$ Und $o_2$ bezeichnen Operatoren auf $\mathscr{H}_1$ Und $\mathscr{H}_2$ , bzw. Wir können dann die Aktion von definieren $o_1$ Und $o_2$ An $\mathscr{H}$ von

\begin{aligned} Ö_{1} & \equiv Ö_{1} \otimes {ICH}_{2} \\ Ö_{2} & \equiv {ICH}_{1} \otimes Ö_{2}, \end{aligned}

$\begin{align} O_1 &\equiv o_1 \otimes \mathbb{I}_2 \\ O_2 &\equiv \mathbb{I}_1 \otimes o_2 \quad , \end{align}$ Wo

I_{i}

$\mathbb{I}_i$ für

i = 1, 2

$i=1,2$ bezeichnet den Identitätsoperator on

H_{i}

$\mathscr{H}_i$ .

Nun lass $|\varphi_i\rangle \in \mathscr{H}_i$ Und $\mathscr{H} \ni|\varphi\rangle \equiv |\varphi_1\rangle \otimes |\varphi_2\rangle$ . Wir rechnen

\begin{aligned} Ö_{1} | φ ⟩ & = Ö_{1} | φ_{1} ⟩ \otimes {ICH}_{2} | φ_{2} ⟩ \\ Ö_{2} | φ ⟩ & = {ICH}_{1} | φ_{1} ⟩ \otimes Ö_{2} | φ_{2} ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} O_1 |\varphi\rangle &= o_1 |\varphi_1\rangle \otimes \mathbb{I}_2 |\varphi_2\rangle\\ O_2 |\varphi\rangle &= \mathbb{I}_1 |\varphi_1\rangle \otimes o_2 |\varphi_2\rangle \quad . \end{align}$ Folglich erhalten wir durch sukzessive Anwendung beider Operatoren:

Ö_{1} Ö_{2} | φ ⟩ = Ö_{2} Ö_{1} | φ ⟩ = Ö_{1} | φ_{1} ⟩ \otimes Ö_{2} | φ_{2} ⟩ .

$O_1 \, O_2 |\varphi\rangle= O_2\, O_1 |\varphi\rangle = o_1 |\varphi_1\rangle \otimes o_2 |\varphi_2\rangle \quad .$

Zusätzlich z $O\equiv o_1 \otimes o_2$ wir haben $O^\dagger = o_1^\dagger \otimes o_2^\dagger$ .

Beachten Sie bei der dritten Frage, dass für ein inneres Produkt an $\mathscr{H}$ das hält es

(φ_{1} \otimes φ_{2}, ϕ_{1} \otimes ϕ_{2})_{H} = (φ_{1}, ϕ_{1})_{H_{1}} (φ_{2}, ϕ_{2})_{H_{2}} .

$(\varphi_1 \otimes \varphi_2 , \phi_1 \otimes \phi_2)_{\mathscr{H}} = (\varphi_1,\phi_1)_{\mathscr{H}_1}\,(\varphi_2,\phi_2)_{\mathscr{H}_2} \quad .$ Definieren

ϕ_{i} \equiv o_{i} φ_{i}

$\phi_i \equiv o_i \varphi_i$ liefert einen Ausdruck für den Erwartungswert von

O_{1} O_{2}

$O_1\,O_2$ .

Eine genauere Erläuterung finden Sie in den oben verlinkten Skripten, Gleichungen $(1.26)-(1.31)$ oder auch in dem in der anderen Antwort angegebenen Wikipedia-Link.

Wie könnten wir das begründen $\mathbb{I}_2$ wirkt nicht auf $|\varphi_1\rangle$ ?
@Invenietis Nun, seine Wirkung auf Elemente von $\mathscr{H}_1$ ist im Allgemeinen nicht einmal wohldefiniert. Nur als Beispiel, wenn $\mathrm{dim}\, \mathscr{H}_1 = 2$ Und $\mathrm{dim} \,\mathscr{H}_2 = 3$ , dann, grob gesagt, $|\varphi_1\rangle$ ist ein Vektor mit $2$ Einträge, aber $\mathbb{I}_2$ ist ein $3\times 3$ Matrix. Und sowas wie $\mathbb{I}_2 |\varphi_1\rangle$ ist nicht wohldefiniert. Wie die andere Antwort auch zeigt, haben wir im Allgemeinen $o_1 \otimes o_2 \left( |\varphi_1\rangle \otimes |\varphi_2\rangle\right) = o_1|\varphi_1\rangle \otimes o_2|\varphi_2\rangle$ .
@Invenietis Man bezeichnet , man "begründet" nicht; das bedeuten die tiefgestellten Zeichen . Wenn man dies zu schätzen weiß, überspringt man einfach die Tensorproduktsymbole, da sie implizit sind!
Ich habe vergessen, nach dem Verhalten des Tensorprodukts in Bezug auf das innere Produkt zu fragen ... Könnten Sie bitte eine Erklärung hinzufügen?
Okay danke. Also seit $(\varphi_1,\phi_1)_{\mathscr{H}_1}\,$ Und $(\varphi_2,\phi_2)_{\mathscr{H}_2}$ sind Skalare, das Produkt $\otimes$ zwischen ihnen wäre ein gewöhnliches Produkt, nicht wahr?

Philipp · Answer 2

Zu deiner zweiten Frage: Ja, und das ist eigentlich die definierende Eigenschaft von $\hat x_1 \hat x_2$ :

Lassen $V,V',W,W'$ Vektorräume über einem Körper sein $F$ (Zum Beispiel, $V'$ Und $W'$ können Hilberträume mit Vektorunterräumen sein $V$ Und $W$ ). Wenn

A : v \to v^{'}

$A\colon V\to V'$ Und

B : W \to W^{'}

$B\colon W\to W'$ sind lineare Funktionen, die Funktion

\begin{aligned} v \times W & \to v^{'} \otimes W^{'} \\ (v, w) & \mapsto (A v) \otimes (B w) \end{aligned}

$\begin{align} V\times W&\to V'\otimes W'\\ (v,w)&\mapsto(Av)\otimes(Bw) \end{align}$ ist bilinear und erstreckt sich aufgrund der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts zu einer eindeutigen linearen Funktion

A \otimes B : v \otimes W \to v^{'} \otimes W^{'}

$A\otimes B\colon V\otimes W\to V'\otimes W'$ befriedigend

(A \otimes B) (v \otimes w) = (A v) \otimes (B w)

$(A\otimes B)(v\otimes w)=(Av)\otimes(Bw)$ für alle

(v, w) \in V \times W

$(v,w)\in V\times W$ .

Warnung : Wenn $H_1$ Und $H_2$ sind Hilbert-Räume, der Vektorraum $H_1\otimes H_2$ zusammen mit dem einzigartigen Innenprodukt überzeugend

⟨ v_{1} \otimes v_{2} | w_{1} \otimes w_{2} ⟩ = ⟨ v_{1} | w_{1} ⟩ ⟨ v_{2} | w_{2} ⟩

$\langle v_1\otimes v_2|w_1\otimes w_2\rangle=\langle v_1|w_1\rangle\langle v_2|w_2\rangle$ nicht unbedingt ein neuer Hilbertraum, weshalb wir meist das Hilbert-Tensorprodukt betrachten

H_{1} \hat{\otimes} H_{2}

$H_1\hat{\otimes} H_2$ .

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