Problem mit Matrizen in Dirac-Notation

Wenn Ihr Buch sagt, was Sie beschreiben, ist es eine sehr verwirrende Art, das Thema und die Aussage darüber darzustellen$\langle q\vert\hat{p}\vert \psi\rangle$ist einfach falsch.

• $\langle e_i \vert \hat{A} \vert e_j \rangle$ist der$ij$te Matrixelement des Operators$\hat{A}$, sagen$A_{ij}$, in der (orthonormalen vollständigen) Basis aufgespannt von$\{\vert e_i\rangle \}$was bedeutet, dass der vollständige Operator ist$\hat A= \sum_{ij}A_{ij} \vert e_i\rangle\langle e_j\vert$.

• $\langle q \vert \hat p \vert \psi \rangle$ist nicht das Matrixelement des Impulsoperators in der Ortsbasis, es sei denn$\psi$zufällig ein Ortseigenzustand ist$\vert \tilde{q}\rangle$in welchem ​​Fall$\langle q \vert \hat p \vert \psi \rangle$wäre das$q\tilde{q}$te Element der Matrixdarstellung des Impulsoperators in der Ortsbasis.

• Was Sie jedoch sagen können, ist das$\langle q \vert\hat p \vert \psi \rangle$"repräsentiert die Wirkung des Impulsoperators in der Ortsbasis" im folgenden Sinne:

  $$\langle q \vert \hat p \vert \psi \rangle= \int d\tilde{q} ~ \langle q \vert\hat p \vert \tilde{q} \rangle \langle \tilde{q} \vert \psi \rangle = \int d\tilde{q} ~ i\hbar \partial_{\tilde{q}} \delta (q-\tilde{q} ) \psi(\tilde{q} )= -i\hbar \partial_q \psi(q)$$ So,$\langle q \vert \hat p \vert \psi \rangle$beschreibt die Wirkung des Impulsoperators auf einen generischen Zustand$\psi$in der Positionsbasis. Deshalb$-i\hbar \partial_q$wird oft als Impulsoperator in der Positionsbasis bezeichnet. Dies bedeutet nicht, dass es sich um das Matrixelement des Impulsoperators in der Positionsbasis handelt$\langle q \vert\hat p \vert \tilde{q} \rangle = i\hbar \partial_{\tilde{q}} \delta (q-\tilde{q} )$(eine Tatsache, die wir in der obigen Berechnung verwendet haben).

• Endlich mal das sagen$\langle \psi \vert \hat A\vert \psi \rangle$ist das Matrixelement des Operators$\hat A$In$\psi$ist eine seltsam formulierte Aussage, um es gelinde auszudrücken, aber sie kann präziser und richtiger gemacht werden. Wenn$\psi$ein normierter Zustandsvektor ist, dann findet man immer einen hermiteschen Operator$\hat O$so dass$\psi$ist einer seiner Eigenzustände. Dann kannst du interpretieren$\langle \psi \vert \hat A\vert \psi \rangle$als die$\psi\psi$te Element der Matrixdarstellung des Operators$\hat A$in der von den Eigenzuständen des Operators aufgespannten Basis$\hat O$. Im Allgemeinen kann ein solcher Operator jedoch von direkter physikalischer Bedeutung sein oder auch nicht, und somit kann er das sagen$\langle \psi \vert \hat A \vert \psi \rangle$ist ein Matrixelement von$\hat A$in der von einem solchen Operator aufgespannten Basis ist wenig sinnvoll. Eine direkter physikalische und basisunabhängige Bedeutung von$\langle \psi \vert \hat A \vert \psi \rangle$ist, dass es der Erwartungswert des Operators ist$\hat A$über den Staat$\psi$.

$\langle q|\hat{p}|\psi\rangle$kann (rein formal!) als Element mit Label interpretiert werden$q$einer "kontinuierlichen" Spaltenmatrix, die das Ket darstellt$\hat{p}|\psi\rangle$in der Grundlage$\{|q\rangle\}$:

Das Element mit Beschriftung$(q,q')$der "kontinuierlichen" Matrix des Impulsoperators in der Basis$\{|q\rangle\}$wäre entsprechend gegeben durch$\langle q|\hat{p}| q'\rangle$, in Analogie zu$\langle e_i|\hat{p}|e_j\rangle$das sein$(i,j)$-tes Element der Matrix von$\hat{p}$in der Grundlage$\{|e_i\rangle\}$:

Was den letzten Teil Ihrer Frage betrifft, denke ich, dass dies nur ein bisschen informelle Terminologie des Buches ist, das Sie zitieren. Ein Matrixelement$\langle q|\hat{p}| q'\rangle$wird oft gesagt, dass es sich zwischen den Zuständen "überschneidet".$|q\rangle$Und$|q'\rangle$, während$\langle q|\hat{p}|q\rangle$würde "das" Matrixelement von genannt werden$\hat{p}$im Einzelstaat$|q\rangle$(Dies ist ein "diagonales" Element der obigen Matrix). Entsprechend für jeden Staat$|\psi\rangle$du könntest anrufen$\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$das Matrixelement von$\hat{A}$im Einzelstaat$|\psi\rangle$.

Die Matrix eines hermiteschen Operators muss hermitesch sein, dh genügen