Linearität des inneren Produkts in der Dirac-Notation

Question

Linearität des inneren Produkts in der Dirac-Notation

Nick.25

Ich fing an, die Dirac-Notation mit den Notizen des MIT zu QM zu lernen. In der Einleitung heißt es, dass die Dirac-Notation damit beginnt, innere Produkte zu drehen von:

⟨ u, v ⟩

$\langle{u}, v\rangle$ zu, Ersetzen des Kommas durch einen Balken:

⟨ u | v ⟩

$\langle{u}| v\rangle$ Dann heißt es, wir trennen uns

⟨ u |

$\langle{u}|$ (BHs) und

| v ⟩

$| v\rangle$ (Kets) als Objekte für sich, so dass, wenn der betrachtete Vektorraum bezeichnet wird

V

$V$ ,

v \in V

$v \in V$ (in dieser Notation) keinen Sinn mehr, sondern

| v ⟩ \in V

$| v\rangle \in V$ ist wahr, denn jetzt sind die Kets die Elemente des Raums: der Buchstabe im Inneren

| ⟩

$| \space \space\rangle$ ist nur ein Etikett, daher müssen Operationen usw. mit den Kets als Ganzes durchgeführt werden. Betrachten Sie jedoch die Linearitätsbedingung für den zweiten Slot in inneren Produkten:

⟨ u, A_{1} v_{1} + A_{2} v_{2} ⟩ = A_{1} ⟨ u, v_{1} ⟩ + A_{2} ⟨ u, v_{2} ⟩

$\langle u, a_1 v_1 +a_2 v_2 \rangle = a_1 \langle u, v_1 \rangle + a_2 \langle u, v_2 \rangle$ Dies macht Sinn, da die Menge

a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2}

$a_1 v_1 + a_2 v_2$ ist ein Vektor, aber

v_{1}

$v_1$ Und

v_{2}

$v_2$ sind selbst auch Vektoren. Dann wird angegeben, dass dies in der Dirac-Notation übersetzt wird in:

⟨ u | A_{1} v_{1} + A_{2} v_{2} ⟩ = A_{1} ⟨ u | v_{1} ⟩ + A_{2} ⟨ u | v_{2} ⟩

$\langle u| a_1 v_1 +a_2 v_2 \rangle = a_1 \langle u| v_1 \rangle + a_2 \langle u| v_2 \rangle$ Das sieht für mich sehr falsch aus: jetzt

a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2}

$a_1 v_1 +a_2 v_2$ ist kein Vektor mehr, aber

| a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} ⟩

$| a_1 v_1 +a_2 v_2 \rangle$ Ist. Daher ist es nicht einmal sinnvoll, das zu sagen

| v_{1} ⟩

$|v_1 \rangle$ ein Vektor ist, da die Stelle, an der es überlagert ist, innerhalb des Etiketts des Ket liegt. Ist diese Bedingung also tatsächlich richtig angegeben und es gibt etwas, das ich nicht verstehe, oder gibt es eine andere Möglichkeit, ein solches Axiom richtig anzugeben?

JG

Was Sie erlebt haben, ist ein Beispiel dafür , aber es ist keine schlechte Sache.

Prahar

Am Ende des Tages ist das alles nur eine Notation, solange Sie also verstehen, was diese Notation bedeutet, gibt es kein Problem. In Ihrem Fall haben wir

| a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} ⟩ = a_{1} | v_{1} ⟩ + a_{2} | v_{2} ⟩

$| a_1 v_1 + a_2 v_2 \rangle = a_1 | v_1 \rangle + a_2 | v_2 \rangle$ Und

⟨ a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} | = a_{1}^{*} ⟨ v_{1} | + a_{2}^{*} ⟨ v_{2} |

$\langle a_1 v_1 + a_2 v_2 | = a_1^* \langle v_1 | + a_2^* \langle v_2 |$ .

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Linearität des inneren Produkts in der Dirac-Notation

Was Sie erlebt haben, ist ein Beispiel dafür , aber es ist keine schlechte Sache.
Am Ende des Tages ist das alles nur eine Notation, solange Sie also verstehen, was diese Notation bedeutet, gibt es kein Problem. In Ihrem Fall haben wir $| a_1 v_1 + a_2 v_2 \rangle = a_1 | v_1 \rangle + a_2 | v_2 \rangle$ Und $\langle a_1 v_1 + a_2 v_2 | = a_1^* \langle v_1 | + a_2^* \langle v_2 |$ .

Richard Meyer · Answer 1

Der Schlüssel zur Dirac-Notation ist, wie Sie bereits erwähnt haben, dass das Ding im BH oder Ket ein Label ist , kein Vektor in einem Vektorraum. Das sage ich immer beim Schreiben $|\psi\rangle\in V$ als Element des Vektorraums ist in der in der Mathematik gebräuchlichen Schreibweise $v_\psi\in V$ . Beachten Sie, dass $\psi$ ist kein Element des Vektorraums. Es ist einfach ein Symbol, wir haben uns entschieden, den Vektor auf die gleiche Weise zu beschriften, wie wir Indizes an Vektoren anhängen würden, um sie zu verfolgen.

In Anbetracht dessen muss man niemals den Begriff der Linearität auf die Symbole „innerhalb“ des BHs oder Kets anwenden, obwohl Sie diese schlampige Notation oft in einführenden Quellen sehen werden. In all diesen Fällen ist die Definition der Linearität im Etikett die Linearität im Vektor. Damit meine ich, dass Autoren eher schreiben $|a\psi_1 + b\psi_2\rangle \equiv a|\psi_1\rangle + b|\psi_2\rangle$ . Auch dies ist eine schlampige Notation, und ich empfehle, sie so weit wie möglich zu vermeiden: der einzige Grund, zu schreiben $|a\psi_1+b\psi_2\rangle$ statt $a|\psi_1\rangle + b|\psi_2\rangle$ ist Faulheit (da Dinge richtig zu schreiben oft erfordern würde, dass ein zusätzlicher Satz Klammern gezogen wird).

Was Sie "Faulheit" nennen, nennen andere vielleicht "Klarheit". Warum den Leser dazu bringen, einen zusätzlichen Satz Klammern zu parsen, wenn diese Klammern nur der Pedanterie dienen?
@Niemand, wenn es wirklich nichts anderes als Pedanterie wäre, dann würden Fragen wie OPs sicherlich nicht existieren. Symbole und Operationen sollten eine konsistente Bedeutung haben.
Ich denke, das ist überhaupt nicht der Fall. Es gibt keine Notation, die so klar ist, dass es nicht irgendwo jemanden gibt, der davon verwirrt ist, und nach allem, was wir wissen, hat die Quelle, aus der das OP arbeitete, diese Verwendung einfach schlecht erklärt. Symbole und Operationen sollten so verwendet werden, dass die zugrunde liegenden Ideen am klarsten kommuniziert werden, auch wenn dies gelegentlich zu harmlosen Widersprüchen führt.

David · Answer 2

Es hört sich so an, als wäre Ihre Frage im Wesentlichen semantisch, ob sie "richtig" zu verstehen ist

| A_{1} v_{1} + A_{2} v_{2} ⟩ \equiv A_{1} | v_{1} ⟩ + A_{2} | v_{2} ⟩

$|a_1 v_1 + a_2 v_2 \rangle \equiv a_1 |v_1 \rangle + a_2 |v_2 \rangle$ .

Für mich ist es das nicht, aber dies scheint das Maß an notatorischer Strenge zu sein, das Physiker oft verwenden. Zum Beispiel könnten wir uns auf die Fourier-Transformation von beziehen $f(t)$ als $f(\omega)$ statt $\tilde{f}(\omega)$ und verlassen Sie sich auf das Argument, um anzuzeigen, was was ist. Es kann etwas Verwirrung stiften, aber es kann sich auch als praktisch erweisen.

(Übrigens habe ich versucht, meinen Schüler davon abzubringen, diese fragwürdige Notation zu verwenden. Es kam ihm intuitiv vor, aber ich denke, er ist bereit, darauf zu verzichten.)

JG · Answer 3

Es ist eine Schande, dass die Notizen mit begannen $u,\,v$ anstatt $\phi,\,\psi$ . Bei letzterem hätten sie das dann betonen können $\sum_ia_i\psi_i$ , mit Skalaren $a_i$ (beachten Sie das römische Symbol) und Vektoren $\psi_i$ (beachten Sie das griechische Symbol) im Prä-(bra-ket)-Formalismus, wird $\sum_ia_i|\psi_i\rangle$ im Braket-Formalismus, wobei dieser Vektor auch geschrieben werden kann als $\big|\sum_ia_i\psi_i\big\rangle$ . (Theoretisch hätten zwei Farben dasselbe erreichen können.)

Dies ist eine etwas allgemeinere Vektor-Label-Beziehung, die die Linearität von Kets anerkennt und nutzt, ganz zu schweigen von der Antilinearität von BHs und der Sesquilinearität von inneren Produkten, wenn wir dasselbe mit BHs machen.

Als eine Antwort auf eine Frage zum Missbrauch von Notationsnotizen , menschliche Leser

sind in der Lage, Kontext, Vermutungen und alle möglichen anderen Informationen zu verwenden, wenn sie entschlüsseln, was wir schreiben/sagen. Es ist im Allgemeinen immens effizienter, dies zu nutzen.

In diesem Fall wurde es nicht perfekt ausgenutzt, aber jetzt ist es hoffentlich klar.

AccidentalTaylorExpansion · Answer 4

Die vom Autor verwendete Notation macht dies unnötig verwirrend. Die folgenden Aussagen sind nur Umbenennungen und weisen auf dasselbe hin. Von links nach rechts sind dies die Vektornotation, die Vektorkomponentennotation und die Dirac-Notation.

\begin{aligned} v & \leftrightarrow (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) \leftrightarrow | v ⟩ \\ v^{†} & \leftrightarrow (\begin{matrix} v_{1}^{*} & v_{2}^{*} \end{matrix}) \leftrightarrow ⟨ v | \\ A u + B v & \leftrightarrow (\begin{matrix} A u_{1} + B v_{1} \\ A u_{2} + B v_{2} \end{matrix}) \leftrightarrow A | u ⟩ + B | v ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} v&\leftrightarrow\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}\leftrightarrow|v\rangle\\ \\ v^\dagger&\leftrightarrow \begin{pmatrix}v_1^*&v_2^*\end{pmatrix}\leftrightarrow\langle v|\\ \\ a\, u+b\,v&\leftrightarrow \begin{pmatrix}au_1+bv_1\\au_2+bv_2\end{pmatrix}\leftrightarrow a|u\rangle+b|v\rangle \end{align}$ Hier habe ich verwendet

u, v

$u,v$ anstatt

v_{1}, v_{2}

$v_1,v_2$ um Verwechslungen mit Vektorkomponenten zu vermeiden. Die explizitere Art, die Aussage zu schreiben, wäre also

⟨ u | (A | v ⟩ + B | w ⟩) = A ⟨ u | v ⟩ + B ⟨ u | w ⟩

⟨ u | A v + B w ⟩ = A ⟨ u | v ⟩ + B ⟨ u | w ⟩

$\langle u|av+bw\rangle=a\langle u|v\rangle+b\langle u|w\rangle$

Das hat es viel klarer gemacht, danke! Es machte es noch verwirrender, dass die Notizen selbst hinterher erwähnen, dass man für Positionszustände nicht |ax>=a|x> sagen kann, da der erste einen Positionseigenzustand bei „ax“ darstellt und der zweite einen Positionszustand bei „x“ mit Amplitude „a“.
@ Nick.25 Ich verstehe, ich verstehe, warum sie die Kurzschreibweise einführen wollen, aber es scheint seltsam, sie so früh einzuführen, wenn Sie nur die Konzepte klar verstehen wollen

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