Wie wird eine in Bra-Ket-Notation dargestellte Funktion zu einem Vektor, der nur aus Koeffizienten besteht?

Es ist eine schlampige Notation, die in der Physik sehr verbreitet ist. In Wirklichkeit haben Sie

$$|f(x)\rangle = \sum_{n} c_n |\psi_n\rangle.$$ Wenn alle $|\psi_n\rangle$linear unabhängig sind, können Sie schreiben $$|f(x)\rangle \rightarrow \left[ \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \end{array}\right],$$ wobei der Pfeil bedeutet, dass der Vektor durch den Spaltenvektor dargestellt wird, aber sie sind nicht gleich. Dies gilt insbesondere dann, wenn die $|\psi_n\rangle$sind nicht orthonormal - wenn sie orthonormal sind, wird das Skalarprodukt im Vektorraum durch die Matrixmultiplikation mit der konjugierten Transponierten der Koeffizientenmatrizen getreu reproduziert. Das heißt, wenn $$\begin{align} |\phi(x)\rangle &= \sum_n p_n|\psi_n\rangle \rightarrow \left[\begin{array}{c} p_1 \\ p_2 \\ \vdots \end{array}\right] \Rightarrow\\ \langle \phi(x)|f(x)\rangle & = \sum_{m,n} p_m^* c_n \langle\psi_m|\psi_n\rangle \tag1\\ &=\sum_{m,n} p_m^* c_n \delta_{m,n} \\ &=\sum_{n} p_n^* c_n \\ &= \left[\begin{array}{ccc} p_1^* & p_2^* & \ldots \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \end{array}\right].\tag2 \end{align}$$

Der Grund für die Aussage, dass die Matrixdarstellung und die Bra/Ket-Darstellung nicht genau gleich sind, ist, weil, wenn Sie nicht haben$\langle\psi_m|\psi_n\rangle= \delta_{m,n}$(Orthonormalität) dann würde die Matrixmultiplikation in (2) nicht gleich der Summe in (1) sein. Lineare Unabhängigkeit der$|\psi_n\rangle$ist die notwendige und hinreichende Bedingung für alle$c_n$eindeutig festgelegt werden durch$|f(x)\rangle$Und$\left\{|\psi_n\rangle\right\}$, und Orthonormalität impliziert lineare Unabhängigkeit.