Äquivalenz zwischen Wellenfunktion und Dirac-Ket-Notation

Die Formeln, die Sie schreiben, sind nicht ganz da. Die Verbindungen zwischen der Wellenfunktion und dem Zustandsvektor sind

$$|\Psi\rangle = \int \mathrm d\mathbf r \:\Psi(\mathbf r)|\mathbf r\rangle$$ Und $$\Psi(\mathbf r) = \langle \mathbf r | \Psi \rangle.$$ Die Ableitungsnotation mit der Dirac-Notation zu verwechseln ist auch eine ziemlich schlechte Idee und ziemlich wahrscheinlich, dass Sie ziemlich schnell verwirrt werden. Stattdessen ist es bei Verwendung der Dirac-Notation üblicher, den kinetischen Begriff in Form des Impulsoperators zu bezeichnen, und die Art und Weise, die beiden über die Dirac-Notation in Beziehung zu setzen, ist wie folgt $$\langle \mathbf r| \hat{\mathbf p}^2 = -\hbar^2 \nabla^2 \langle \mathbf r|.$$

Nimmt man also die Dirac-Notation Schrödinger-Gleichung

$$\frac{\hat{\mathbf p}^2}{2m}|\Psi\rangle = E|\Psi\rangle$$ und du multiplizierst es links mit $\langle\mathbf r|$, erhalten Sie die Schrödinger-Gleichung für die Wellenfunktion, $$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf r) = E\Psi(\mathbf r).$$

Lassen Sie mich jeden Schritt zeigen, der notwendig ist, um zwischen den beiden Notationen umzuwandeln. Ihre erste Gleichung ist richtig geschrieben als

$$\hat{H} \, | \psi \rangle = E\, | \psi \rangle$$ Wo$\hat{H}$ist ein Betreiber,$|\psi \rangle$ein Zustandsvektor ist, und$E$ist eine Zahl. Nun, beides$\hat{H}$Und$|\psi \rangle$kann in Form von Komponenten in einer Basis ausgedrückt werden. Beispielsweise werden in der Positionsbasis die Komponenten von$|\psi \rangle$eine Funktion bilden, die Wellenfunktion genannt wird, $$\langle x | \psi \rangle = \psi(x).$$ Der Hamiltonoperator ist ein Operator, also wird er in Komponenten zu einer Matrix mit Komponenten $$H_{xy} = \langle x | \hat{H} | y \rangle.$$ Wenden wir dies nun auf die erste Gleichung an. Wir schlagen alles auf der linken Seite mit$\langle x |$, und fügen Sie auch eine Kopie der Identität ein, $$1 = \int dy |y \rangle \langle y|$$ auf der linken Seite. Das gibt $$\int dy\, \langle x | \hat{H} | y \rangle \langle y | \psi \rangle = E \langle x | \psi \rangle.$$ Erweiterung in Komponenten, wir haben $$\int dy \, H_{xy} \psi(y) = E \, \psi(x).$$ Dies ist die Schrödinger-Gleichung in Komponenten. In Ihrem speziellen Fall sind die Komponenten $$H_{xy} = -\frac{\hbar^2}{2m} \delta''(x-y).$$ Das heißt, die Komponenten sind die zweite Ableitung einer Dirac-Delta-Funktion. Das Einstecken und zweimalige Integrieren von Teilen haben wir $$- \frac{\hbar^2}{2m} \int dy \, \delta(x-y) \psi''(y) = E\, \psi(x)$$ Durch Ausführen des Integrals haben wir $$-\frac{\hbar^2}{2m} \psi''(x) = E \psi(x).$$ Schließlich können wir dies in der "abstrakten" Notation schreiben $$- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi = E \psi$$ Das ist Ihre zweite Gleichung. Der Unterschied besteht darin, dass die erste Gleichung wirklich eine abstrakte Operatorgleichung ist, unabhängig von der Basis. In der zweiten Gleichung haben wir getrennt$H$als Operator, wirkt aber auf Koeffizienten, nicht auf die Zustandsvektoren selbst. Als solche ist diese Gleichung nur nützlich, wenn in einer bestimmten Basis, der Positionsbasis, gearbeitet wird.

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Emilio Pisanty hat eine schöne (und viel kürzere) Antwort gegeben. Ich denke, es ist gut, die vollständige Berechnung ein paar Mal zu sehen, aber danach möchten Sie wirklich nicht bis zu den Komponenten heruntersteigen, wie ich es gerade getan habe, da Komponentenausdrücke für Operatoren sehr hässlich sind.