Braket-Notation auf rigorose Weise

Betrachten Sie den Fall eines Vektorraums mit zählbarer Dimension mit einem orthonormalen Satz von Basis-Kets$\left\{\vert\mathbf{e}_i\rangle\right\}$. Die Orthonormalitätsbedingung wird angegeben als$\langle \mathbf{e}_i \vert \mathbf{e}_j \rangle = \delta_{ij}$, Wo$\delta_{ij}$ist das Kronecker-Delta. Wir können dann jeden Vektor in dieser Basis entwickeln,

$$\vert \psi \rangle = \sum_i \psi_i \vert \mathbf{e}_i \rangle,$$ bei dem die$\psi_i$sind die Bestandteile von$\vert \psi \rangle$, dh sie sind die Projektionen von$\vert \psi \rangle$entlang der Basisvektoren$\vert \mathbf{e}_i \rangle$, was wir technischer ausdrücken können, indem wir anmerken, dass die Identitätsmatrix geschrieben werden kann als $$I = \sum_i \vert \mathbf{e}_i \rangle \langle \mathbf{e}_i \vert,$$ in welchem ​​Fall $$\vert \psi \rangle = I \vert \psi \rangle = \sum_i \vert \mathbf{e}_i \rangle \langle \mathbf{e}_i \vert \psi \rangle,$$ dh $$\psi_i = \langle \mathbf{e}_i \vert \psi \rangle.$$

Nun verallgemeinern wir dies auf eine überabzählbare Basis. Zum Beispiel definieren wir die Positionsbasis als Menge$\left\{\vert \mathbf{x} \rangle \,\vert\, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \right\}$. Jetzt ist die Orthonormalitätsbedingung leicht modifiziert (für technische Details können Sie über "manipulierte" Hilbert-Räume lesen),$\langle \mathbf{x} \vert \mathbf{x}' \rangle = \delta^{3}(\mathbf{x} - \mathbf{x}')$Wo$\delta^3$ist das dreidimensionale Dirac-Delta. Dann können wir den Identitätsoperator (es ist keine Matrix mehr, wenn die Basis nicht abzählbar ist) als erweitern

$$I = \int_{\mathbb{R}^3} d^3\mathbf{x}\, \vert \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{x} \vert.$$ Dann erweitern wir wie zuvor einen Vektor$\vert \psi \rangle$als $$\vert \psi \rangle = I\vert \psi \rangle = \int d^3\mathbf{x} \, \vert \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{x} \vert\psi \rangle \equiv \int d^3\mathbf{x} \, \psi(\mathbf{x})\,\vert \mathbf{x} \rangle,$$ Also die Wellenfunktion$\psi(\mathbf{x})$ist einfach die Komponenten des Vektors$\vert \psi \rangle$entlang der Basisvektoren$\vert \mathbf{x} \rangle$, genau wie im abzählbaren Fall. Der einzige Unterschied ist der jetzt$\mathbf{x}$beschriftet die Basisvektoren anstelle des diskreten Index$i$. $$\psi_i \equiv \langle \mathbf{e}_i \vert \psi \rangle \leftrightarrow \psi(\mathbf{x}) \equiv \langle \mathbf{x} \vert \psi \rangle \quad\,\,$$ $$\vert\psi\rangle = \sum_i \psi_i \vert \mathbf{e}_i \rangle \leftrightarrow \vert \psi \rangle = \int d^3\mathbf{x}\, \psi(\mathbf{x}) \vert \mathbf{x} \rangle$$ Für eine pädagogische Einführung empfehle ich die Hinweise auf dieser Seite , insbesondere „Block 1: Mathematische Grundlagen“.

Sie können definieren$|\Psi\rangle$als:

$$\begin{equation} |\Psi\rangle=\int \Psi(y) |y\rangle d^3y \end{equation}$$ Mit$\{|y\rangle \ \,|\,y \in \mathbb{R}^3\}$die Basis des Hilbert-Raums$H$von Positionen. Seit$\langle x|$ist die lineare Form so dass$\langle x|(|y\rangle)\equiv \langle x|y\rangle=\delta^{(3)}(x-y)$wir haben : $$\begin{equation} \langle x|\Psi\rangle=\int \Psi(y) \delta^{(3)}(x-y) d^3y=\Psi(x) \end{equation}$$