Was ist die funktionale Form für einen Ket-Vektor in der Positionsbasis?

Question

Was ist die funktionale Form für einen Ket-Vektor in der Positionsbasis?

Schoppe

$\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}$ $\newcommand{\bra}[1]{\langle#1}$

Dies ist eine Frage, die mich lange verwirrt hat, was ist die tatsächliche funktionale Form eines Ket-Vektors, insbesondere in der Positionsbasis? Ich vermute, die Antwort ist, dass der Ket-Vektor zu abstrakt ist, um eine funktionale Form zu haben, außer vielleicht unter bestimmten Umständen, aber lassen Sie mich versuchen, meine Verwirrung zu erklären. In Abschnitt 1.10 von Shankar beschreibt er eine Funktion, die als eine Reihe von Kets als solche erweitert wird:

Lassen Sie uns mit bezeichnen $f_n(x)$ die diskrete Annäherung an $f(x)$ das stimmt damit überein $n$ Punkte und verschwindet dazwischen. Lassen Sie uns nun die Reihenfolge interpretieren $n$ -Tupel { $f_n(x_1)$ , $f_n(x_2)$ ,..., $f_n(x_n)$ } als Komponenten eines Ket $\ket{f_n}$ in einem Vektorraum $V^n(R)$ :
$| F_{N} ⟩ \leftrightarrow [\begin{matrix} F_{N} (X_{1}) \\ F_{N} (X_{2}) \\ ⋮ \\ F_{N} (X_{N}) \end{matrix}]$ $\ket{f_n}\leftrightarrow \begin{bmatrix} f_n(x_{1}) \\ f_n(x_{2}) \\ \vdots \\ f_n(x_{n}) \end{bmatrix}$ Die Basisvektoren in diesem Raum sind: $| X_{ich} ⟩ \leftrightarrow [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]$ $\ket{x_i}\leftrightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ entsprechend der diskreten Funktion, die bei Eins ist $x=x_i$ und an anderer Stelle null. (...) Versuchen Sie sich einen Raum vorzustellen, der enthält $n$ zueinander rechtwinklige Achsen, eine für jeden Punkt $x_i$ . Entlang jeder Achse befindet sich ein Einheitsvektor $\ket{x_i}$ . Die Funktion $f_n(x)$ wird durch einen Vektor dargestellt, dessen Projektion entlang der $I$ Richtung ist $f_n(x_i)$ : $| F_{N} ⟩ = \sum_{ich = 1}^{N} F_{N} (X_{ich}) | X_{ich} ⟩$ $\ket{f_n}=\sum_{i=1}^n f_n(x_i)\ket{x_i}$

Diese Diskussion scheint zu implizieren, dass ein Ket $\ket{x}$ ist entweder ein Kronecker-Delta oder realistischer $\ket{x}=\int dx^\prime\delta(x-x^\prime)|x'\rangle$ . Der Grund, warum ich dem skeptisch gegenüberstehe, ist, dass dies eine unzählbar unendliche Anzahl von Dirac-Deltas erfordern würde, um die Gesamtheit eines physikalischen Positionsraums zu definieren, da Shankar jeden Punkt im Raum eindeutig mit einem bestimmten Ket in Beziehung setzt.

Da bin ich auch skeptisch $\int dx^\prime\delta(x-x^\prime)$ ist funktional und sollte daher im dualen Raum leben, der der Raum der BHs ist (obwohl ich verstehe, dass es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den beiden gibt, obwohl ich nicht sicher bin, wie ich es in diesem Fall explizit sehen soll). Ich weiß, dass diese Diskussion oft die Idee eines "manipulierten Hilbert-Raums" beinhaltet, wie hier , aber ich kann der geführten Diskussion nicht vollständig folgen. Ist Shankars Diskussion hier rein oberflächlich und soll nicht die zugrunde liegende Mathematik darstellen?

Um meine Verwirrung zu verstärken, kann ich mir eine Wellenfunktion vorstellen, die in einem endlichen Intervall definiert ist. Wir können diese Funktion in Form einer Potenzreihe von Polynomen erweitern. In diesem Fall würden wir mit ziemlicher Sicherheit assoziieren $\ket{x}$ mit $\ket{x_n}=x^n$ da die Funktion richtig erweitert werden würde als:

F (X) = \sum_{N = 0}^{\infty} A_{N} X^{N} = \sum | X ⟩ ⟨ X | F ⟩

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum \ket{x}\bra{x}\ket{f}$ in denen deutlich

a_{n} = ⟨ x | f ⟩

$a_n=\bra{x}\ket{f}$ und deshalb

| x ⟩ = x^{n}

$\ket{x}=x^n$ , da nun die Polynome die Basis bilden (oder zumindest eine Linearkombination von Polynomen Basiszustände bilden, also Laguerre-Polynome). Dies unterscheidet sich von der vorherigen Interpretation von Kets als Dirac-Deltas.

Jede Diskussion oder Ressourcen, auf die Sie mich diesbezüglich hinweisen könnten, wäre sehr willkommen!

ZeroTheHero

mögliches Duplikat von physical.stackexchange.com/questions/364208/…

ZeroTheHero

Die Schwäche hier ist

| x_{n} ⟩ \to x^{n}

$\vert x_n\rangle\to x^n$ , was in der Art und Weise, wie die Basis der Eigenzustände von keinen Sinn macht

\hat{x}

$\hat x$ ist konstruiert. In der Tat,

f (x)

$f(x)$ wird als Zahl interpretiert (die Funktion wird ausgewertet bei

x

$x$ ) kein Vektor im Hilbertraum. Der Vektor wäre

| f ⟩

$\vert f\rangle$ , während die Komponente des Vektors entlang des Basiszustands

| x ⟩

$\vert x\rangle$ Ist

⟨ x | f ⟩ = f (x) \in C

$\langle x\vert f\rangle=f(x)\in \mathbb{C}$ .

Schoppe

Vielen Dank für das Teilen des vorherigen Links. Bedeutet dies dann das

| x ⟩

$|x\rangle$ ist nur der reelle Zahlenstrahl? Oder ist das zumindest eine angemessene Art, darüber nachzudenken?

ZeroTheHero

Nicht ganz. Das Argument

x

$x$ ist ein bestimmter Wert auf der realen Linie, aber

| x ⟩

$\vert x\rangle$ ein Vektor ist, so dass

I = \int d x | x ⟩ ⟨ x |

$\mathbb{I}=\int dx \vert x\rangle \langle x\vert$ verallgemeinert auf den stetigen Fall die Summe

\sum_{k} | k ⟩ ⟨ k |

$\sum_k \vert k\rangle\langle k\vert$ im diskreten Fall.

Antworten (2)

Was ist die funktionale Form für einen Ket-Vektor in der Positionsbasis?

mögliches Duplikat von physical.stackexchange.com/questions/364208/…
Die Schwäche hier ist $\vert x_n\rangle\to x^n$ , was in der Art und Weise, wie die Basis der Eigenzustände von keinen Sinn macht $\hat x$ ist konstruiert. In der Tat, $f(x)$ wird als Zahl interpretiert (die Funktion wird ausgewertet bei $x$ ) kein Vektor im Hilbertraum. Der Vektor wäre $\vert f\rangle$ , während die Komponente des Vektors entlang des Basiszustands $\vert x\rangle$ Ist $\langle x\vert f\rangle=f(x)\in \mathbb{C}$ .
Vielen Dank für das Teilen des vorherigen Links. Bedeutet dies dann das $|x\rangle$ ist nur der reelle Zahlenstrahl? Oder ist das zumindest eine angemessene Art, darüber nachzudenken?
Nicht ganz. Das Argument $x$ ist ein bestimmter Wert auf der realen Linie, aber $\vert x\rangle$ ein Vektor ist, so dass $\mathbb{I}=\int dx \vert x\rangle \langle x\vert$ verallgemeinert auf den stetigen Fall die Summe $\sum_k \vert k\rangle\langle k\vert$ im diskreten Fall.

Löslicher Fisch · Answer 1

Der Hilbertraum für a $1D$ Teilchen ohne Spin ist $\mathcal H = L^2(\mathbb R)$ . Für jeden $x\in \mathbb R$ , $|x\rangle$ ist kein Element von $\mathcal H$ , es ist also kein richtiges Ket (in QM-Grundkursen wird dies oft als Tatsache erwähnt, dass es nicht normalisierbar ist).

Im manipulierten Hilbert-Raum- Formalismus können wir es jedoch als verallgemeinertes Ket und Gleichungen wie verstehen $\langle \psi|x\rangle = \psi^*(x)$ Und $\mathbb I = \int \text d x |x\rangle\langle x|$ sind wahr. (Beachten Sie, dass es einen gibt $|x\rangle$ für jede $x\in\mathbb R$ .) Ich denke, Shankar versucht heuristisch zu begründen, dass man sich (zumindest am Anfang) nicht allzu viele Gedanken über diese Feinheiten machen sollte und dass es vollkommen in Ordnung ist, es zu verwenden $|x\rangle$ als nur ein normales Ket.

Um es mathematisch korrekt zu machen, benötigen Sie natürlich einen manipulierten Hilbert-Raum $\Phi\subset \mathcal H \subset \Phi^\times$ , in diesem Fall für alle $x\in\mathbb R$ , können Sie ein stetiges antilineares Funktional definieren $\Phi$ von :

\forall ψ \in Φ, ⟨ ψ | X ⟩ = ψ^{*} (X) = \int D X^{'} ψ^{*} (X^{'}) δ (X^{'} - X)

$\forall \psi \in\Phi, \langle \psi|x\rangle = \psi^*(x) = \int \text dx'\psi^*(x')\delta(x'-x)$

Nun zu Ihrer Idee, Polynome als Basis zu nehmen $\mathcal H =L^2([a,b])$ : Dies ist definitiv möglich, aber es wäre sehr verwirrend, diese Ket zu schreiben $|x\rangle$ (da dies normalerweise so verstanden wird, wie ich es oben beschrieben habe). Die Funktionen $\psi_n(x) = x^n$ überspannen eine dichte Teilmenge, sind aber nicht orthonormal, sodass Sie keine Abschlussbeziehung haben $\sum_n |\psi_n\rangle\langle \psi_n| = \mathbb I$ . Durch Anwendung des Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsprozesses erhalten Sie eine Orthonormalbasis $\big\{|n\rangle\big\}$ von polynomialen Wellenfunktionen.

Danke schön! Das ist genau die Art von Diskussion und Antwort, nach der ich gesucht habe. Kennen Sie Quellen, die dies im Detail besprechen? Die Idee, ein nicht renormierbares "Objekt", das nicht einmal Teil des Hilbert-Raums ist, als Basis für den Hilbert-Raum zu verwenden, hat mich immer verwirrt. Griffiths spricht kurz darüber, wenn er Impuls-Eigenzustände diskutiert, bietet aber danach keine Klärung an. Wie wurde dieses Problem traditionell behandelt, das heißt vor der Verwendung eines Rigged Hilbert Space?
Für Ressourcen zu manipulierten Hilbert-Räumen können Sie mit den Erklärungen und Ressourcen beginnen, die in den Antworten hier angegeben sind

Kosmas Zachos · Answer 2

Shankars Diskussion ist es nicht

rein oberflächlich und nicht dazu gedacht, die zugrunde liegende Mathematik darzustellen.

Er sagt Ihnen genau, dass Kets Vektoren sind; Sie sollten also niemals eine Gleichung mit offenen Kets auf der einen Seite und reinen Funktionen (Zahlen) auf der anderen Seite haben. In diesem Sinne machen mehrere Gleichungen nach Ihrem "skeptischen" Punkt keinen Sinn, aber ich weiß nicht, wonach Sie suchen.

Nach dem diskreten Paradigma sind hier einige korrekte Gleichungen, die möglicherweise zu Ihrer Verwirrung beitragen.

| F ⟩ = \int D X F (X) | X ⟩ \equiv \int D X ⟨ X | F ⟩ | X ⟩ ⇝ F (X^{'}) = ⟨ X^{'} | F ⟩ = \int D X F (X) ⟨ X^{'} | X ⟩ = \int D X F (X) δ (X - X^{'}) .

Wenn Sie sich ein Bild machen möchten $|x\rangle$ , denken Sie an einen unendlichdimensionalen Vektor, dessen verschmelzende Einträge (ihre Intervalle/Sprossen sind zu einem Kontinuum geschrumpft) dem Wert von x entsprechen . So $|137.4848\rangle$ ist ein Vektor, der überall leer ist, außer an der Stelle/Schritt 137,4848, wo die Komponente unendlich ist.

Der Punkt, den ich machen wollte, ist, dass Sie eine Basis bilden können, indem Sie die Polynome so verwenden, dass eine Funktion entsteht $f(x)$ kann ausgedrückt werden als $f(x)=\sum a_n x^n$ wobei der Satz von Basisvektoren { $1,x,x^2,x^3,...$ }. Das sagen wir $|x|rangle$ bildet eine Grundlage für den Positionsraum, also habe ich versucht, eine Äquivalenz zwischen diesen beiden Begriffen herzustellen. Wenn $|x\langle$ einer Dirac-Delta-Funktion entspricht, ist noch nicht geklärt, wie, da ein Dirac-Delta keine Funktion, sondern ein Funktional ist, es in den Dualraum und nicht in den Vektorraum gehört.
Die Dirac-Delta-Funktion arbeitet hier wie eine Funktion, nicht wie eine Funktion. Es ist die Wellenfunktion der Position ket, wie Dirac in seinem Buch betont.

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