Ist in der Quantenmechanik |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle gleich ψ(x)ψ(x)\psi(x)?

Zunächst einmal sind die Kets Vektoren, was bedeutet, dass wir sie in Bezug auf eine bestimmte Basis schreiben müssten, wenn wir eine explizite Realisierung davon wünschen. Die erste Basis, die die meisten Menschen sehen, ist die Positionsbasis, wobei die Basis-Kets die Zustände der bestimmten Position sind. Dann ein willkürlicher Zustand$|\psi\rangle$kann geschrieben werden als

Wo$\psi(x)$ist die bekannte Ortsraumwellenfunktion. Dies sollte helfen zu erklären, warum die letzte Zeile das Integral enthält, es kommt von dieser Überlagerung von Zuständen mit bestimmter Position.

Jetzt zum Umschreiben$\hat{H}|\psi\rangle = E|\psi\rangle$, passiert genau dasselbe, aber der Grund dafür, dass es keine Integrale gibt, ist, dass die$\hat{H}$In$\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)$wird jetzt als Differentialoperator geschrieben, der auf den Positionsraum wirkt, und nicht als Operator, der auf irgendeine Weise auf ein beliebiges Ket wirkt. Dies mag ein leichter Schreibfehler sein, aber es ist normalerweise aus dem Kontext klar, auf welcher Basis der Hamiltonian in einer bestimmten Gleichung geschrieben ist.

Der Zustand eines Quantensystems ist ein Element eines Vektorraums (insbesondere eines Hilbert-Raums). Die Notation$|\psi\rangle$wird verwendet, um einen bestimmten Vektor in diesem Raum zu kennzeichnen. Betreiber wie z$\hat{H}$bilde Zustände im Hilbert-Raum auf andere Zustände im Hilbert-Raum ab, also$\hat{H} |\psi\rangle = |\phi\rangle$, Wo$|\phi\rangle$ist ein weiterer Zustand im Hilbert-Raum. Einige Vektoren könnten Eigenvektoren eines Operators sein, in diesem Fall könnten wir schreiben$\hat{H}|\psi\rangle = E |\psi\rangle$(Wo$E$ist nur eine reguläre Zahl, der Eigenwert).

Wenn wir eine Wellenfunktion betrachten, die die Bewegung eines Teilchens im realen Raum beschreibt, dann könnte uns die Ausbreitung der Wellenfunktion über den Raum interessieren. Der Hilbertraum ist in diesem Fall unendlichdimensional. Eine natürliche Wahl für die Basisvektoren, in denen erweitert werden soll$|\psi\rangle$sind die Ortseigenzustände$|x\rangle$, Wo$x$ist eine beliebige Position im realen Raum.$|\psi\rangle$kann immer als Überlagerung verschiedener Basiszustände mit unterschiedlichen Amplituden in jedem Basiszustand ausgedrückt werden:

Wir können uns formal beziehen$\psi(x)$Zu$|\psi\rangle$wie folgt: Nehmen Sie das Skalarprodukt der Erweiterung von$|\psi\rangle$in der Positionsbasis mit einem bestimmten Positionseigenzustand$|x'\rangle$:

So$\psi(x) = \langle x | \psi \rangle$. Das heißt, die Amplitude der Wellenfunktion an einer Position$x$ist durch die Projektion des Staates gegeben$|\psi\rangle$auf den an Position definierten Basiszustand$x$,$|x\rangle$.

Das hat mich auch eine Weile verwirrt, als ich zum ersten Mal etwas über Quantenmechanik gelernt habe. Erstens denke ich, dass es wichtig ist, das Konzept der verschiedenen „Räume“ zu verstehen. Physiker beschäftigen sich mit vielen verschiedenen Räumen: dem üblichen alten realen 3D-Raum, in dem wir leben, und vielen, vielen abstrakten „Räumen“.

Der Hilbert-Raum eines Partikels ist der „Raum“ aller möglichen Zustände, in denen sich das Partikel befinden kann. Es ist NICHT derselbe 3D-Raum, in dem sich das Partikel tatsächlich „bewegt“. Der Hilbert-Raum gehorcht auch den üblichen Gesetzen der linearen Algebra und ist unendlich dimensional (jedes Bit so unendlich dimensional wie der reale Raum dreidimensional ist).

Insbesondere ist die Dimensionalität gleich der Anzahl von Punkten im Raum, und der Satz von Basisvektoren ist es$\{\,|x\rangle\,|\,x\in \mathbb{R}\}$. Die Bedeutung von$|x\rangle$als Zustand ist "das Teilchen befindet sich bei x".$|x\rangle$ist auch ein Basisvektor des Hilbert-Raums; Beachten Sie, dass es für jedes x eine gibt. So$|2.77\rangle$,$|-\sqrt{3}\rangle$,$|\pi\rangle$, Und$|42\rangle$sind alle Basisvektoren, ebenso unendlich viele andere.

Die wichtige Gleichung ist tatsächlich$\langle x|\psi\rangle = \psi(x)$. Dies ist die "richtige" Version von Ihnen$|\psi \rangle \rightarrow \psi(x)$. Der Vektor$|\psi\rangle$lebt im Hilbert-Raum und ist das abstrakte mathematische Objekt, das den Zustand des Teilchens darstellt. Die gleichung$\langle x|\psi\rangle = \psi(x)$sagt im Wesentlichen, dass das Skalarprodukt von$| x\rangle$Und$|\psi\rangle$, oder 'die Komponente des Vektors$|\psi\rangle$entlang der$|x\rangle$Richtung' ist gleich einer Zahl, die wir anrufen$\psi(x)$. Aufgrund der unendlichen Dimension können Sie alle diese Skalarprodukte (also alle Komponenten von$|\psi\rangle$entlang aller möglichen 'Richtungen') und fügen sie zu einer stetigen Funktion, der Wellenfunktion, zusammen.

Technisch gesehen, wenn$\vert \psi\rangle\to \psi(x)$Dann$\langle\psi\vert\to \int \,dx\, \psi(x)^*$. Das integrale Symbol garantiert, dass das Zusammenkleben eines BHs und eines Kets,$\langle \phi \vert \psi\rangle$, ist ein Skalarprodukt und eine (im Allgemeinen komplexe) Zahl, ergibt dasselbe wie die berechnete Zahl als$\int dx \phi^*(x)\psi(x)$.

Genauer,$\psi(x)$ist wirklich$\langle x\vert\psi\rangle$, gemäß dieser Frage . Verwenden$\langle x\vert\psi\rangle =\psi(x)$erlaubt zu interpretieren$\psi(x)$als Bestandteil von$\vert\psi\rangle$entlang des Basisvektors$\vert x\rangle$. Wenn Sie dies kaufen, können Sie es auch ausdrücken$\vert \psi\rangle$in der Impulsbasis, wo$\psi(p)=\langle p\vert\psi\rangle$.

Es gibt sogar Zustände - wie Spin-Zustände$\vert \pm\rangle$, für die es keine "räumliche" Wellenfunktion gibt, dh$\langle x\vert +\rangle$macht keinen Sinn, da der Spin-Freiheitsgrad physikalische Dimensionen hat.

Die Dirac-Notation ist somit eine Möglichkeit, die vektorielle Natur von Zuständen zu betonen, die genauso wie Vektoren mit Skalaren kombiniert und multipliziert werden können. Es betont auch, dass es sich ausdrückt$\psi(x)$oder$\psi(p)$, dh die Wellenfunktion im Orts- oder Impulsraum, ist im Grunde eine Wahl der Basis, ähnlich wie die Wahl, einen Vektor in sphärischen oder kartesischen Koordinaten auszudrücken. Um von einer Basis zur anderen zu gelangen, benötigen wir die Übergangsformel$\langle x\vert p\rangle \sim e^{-i p x/\hbar}$.

Das ist eigentlich nicht der Fall$\langle \psi | = \psi(x)^*$. Eine genauere Aussage wäre wie folgt.

Dieser BH$\langle \psi |$kann daher als eine Funktion angesehen werden, die Ket-Zustände abbildet$| \phi \rangle$zu einer komplexen Zahl.

Bei dem Zustandsraum handelt es sich um den projektivierten Hilbertraum$L^2$Funktionen an$ℝ^1$,$|\psi\rangle$ist per Definition der Name der durch die Funktion repräsentierten Äquivalenzklasse$\psi$.$\langle\phi|\psi\rangle$ist per definitionem dasselbe wie$\int|\phi(x)\psi(x)|$(wenn der Zustandsraum der projektivisierte Hilbert-Raum von ist$L^2$Funktionen an$ℝ^1$".).