Wellenfunktion als Ket-Vektor in einem Hilbert-Raum

Question

Wellenfunktion als Ket-Vektor in einem Hilbert-Raum

Benutzer3141

Etwas verstehe ich nicht: Ich habe gelernt, dass Quantenwellenfunktionen als "Ket-Vektor" in einem abstrakten Vektorraum namens Hilbert-Raum beschrieben werden können. Die Positionswellenfunktion zum Beispiel, die verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeit auszudrücken, das Teilchen an einem Punkt zu finden, kann als Vektor in einem unendlich dimensionalen Hilbert-Raum beschrieben werden. Aber wir haben auch die Wellenfunktion, die verwendet wird, um den Spin ("Spinor") zu beschreiben, und diese Wellenfunktion existiert in einem zweidimensionalen Hilbert-Raum. Meine Frage ist also, was ist die Beziehung zwischen diesen beiden verschiedenen Wellenfunktionen? Ich meine, beide werden als Darstellung des Zustands eines Teilchens dargestellt, aber sie sind eindeutig nicht dasselbe. Ich habe auch gehört, dass die Wellenfunktion alles enthält, was man über das Teilchen wissen muss, aber ich denke: "

Antworten (3)

Wellenfunktion als Ket-Vektor in einem Hilbert-Raum

Thomas Fritsch · Answer 1

Ich habe gelernt, dass Quantenwellenfunktionen als "Ket-Vektor" in einem abstrakten Vektorraum namens Hilbert-Raum beschrieben werden können. Die Positionswellenfunktion zum Beispiel, die verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeit auszudrücken, das Teilchen an einem Punkt zu finden, kann als Vektor in einem unendlich dimensionalen Hilbert-Raum beschrieben werden.

Es scheint, dass Sie über die Positionswellenfunktion sprechen

\begin{matrix} (1) & ψ (\vec{R}) . \end{matrix}

$\psi(\vec{r}). \tag{1}$ Ja, diese Funktion ist Mitglied einer

\infty

$\infty$ -dimensionaler Hilbertraum, weil es unendlich viele Positionen gibt

\vec{r}

$\vec{r}$ . Allerdings kann eine solche Wellenfunktion nur ein spinloses Teilchen darstellen, aber kein Teilchen mit Spin (z. B. ein Elektron) beschreiben.

Aber wir haben auch die Wellenfunktion, die verwendet wird, um den Spin ("Spinor") zu beschreiben, und diese Wellenfunktion existiert in einem zweidimensionalen Hilbert-Raum.

Nur zur Verdeutlichung: Ein Spinor ist ein "Vektor", der aus 2 komplexen Zahlen besteht (ohne Positionsabhängigkeit $\vec{r}$ ), wie

\begin{matrix} (2) & (\begin{matrix} ψ_{+} \\ ψ_{-} \end{matrix}) . \end{matrix}

$\begin{pmatrix}\psi_+ \\ \psi_-\end{pmatrix}. \tag{2}$ Dieser Spinor ist also Mitglied eines zweidimensionalen Hilbertraums. Dieser 2-Komponenten-Spinor kann man sich als Fahnenstange mit Fahne vorstellen.

_{(Bild aus Eine Einführung in Spinoren )}

Beim Drehen eines Spinors wandeln sich seine 2 Komponenten auf wohldefinierte Weise um. Weitere Informationen finden Sie in An Introduction to Spinors (insbesondere Seiten 2 bis 5) von Andrew Steane.

Meine Frage ist also, was ist die Beziehung zwischen diesen beiden verschiedenen Wellenfunktionen?

Die eigentliche Wellenfunktion eines Elektrons (oder eines anderen Spins $\frac{1}{2}$ Partikel) ist das Tensorprodukt von (1) und (2) oben.

\begin{matrix} (3) & (\begin{matrix} ψ_{+} (\vec{R}) \\ ψ_{-} (\vec{R}) \end{matrix}) \end{matrix}

$\begin{pmatrix}\psi_+(\vec{r}) \\ \psi_-(\vec{r})\end{pmatrix} \tag{3}$ Diese Funktion ist also ein Mitglied von an

\infty \times 2

$\infty\times 2$ -dimensionaler Hilbertraum.

ψ_{+} (\vec{r})

$\psi_+(\vec{r})$ ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude des Teilchens, das sich an der Position befindet

\vec{r}

$\vec{r}$ und mit Spin-up. Ebenfalls

ψ_{-} (\vec{r})

$\psi_-(\vec{r})$ ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude des Teilchens, das sich an der Position befindet

\vec{r}

$\vec{r}$ und mit Spin-Down.

Ich meine, beide werden als Darstellung des Zustands eines Teilchens dargestellt, aber sie sind eindeutig nicht dasselbe. Ich habe auch gehört, dass die Wellenfunktion alles enthält, was man über das Teilchen wissen muss, aber ich frage mich: "Welche Wellenfunktion?"

Es ist die in (3) angegebene Spinorwellenfunktion, die alles Wissenswerte über das Teilchen enthält.

Wow, das ist wirklich erstaunlich. Der vollständige Zustand eines Teilchens ist also ein Ket-Vektor in einem Hilbert-Raum, und dieser Vektor enthält Informationen über alles, was Sie über das Teilchen wissen können, wie Spin, Position, Impuls, Energie usw.? In diesem Sinne sagt uns die Wellenfunktion also alles, was es über das Teilchen zu wissen gibt?
Kleiner technischer Kommentar: Es sollte das Tensorprodukt sein, denke ich, nicht das kartesische (das als direkte Summe bezeichnet wird, wenn es um Vektor-/Hilbert-Räume geht).
@coconut Danke, es scheint, Sie haben Recht. Ich habe meine Antwort korrigiert.
Es ist ein wenig irreführend, einen Spinor nur als eine Spalte komplexer Zahlen darzustellen. Es sollte eine Einschränkung geben, dass es eine Darstellung der Spin-Gruppe enthält, die eine Abdeckung der Lorentz-Gruppe ist.
Kokosnuss, ja, ich fand es auch seltsam, dass er das kartesische Produkt verwendet hat, aber ich nahm einfach an, dass es ein Tippfehler war und dass er das Tensorprodukt meinte, und zum Glück hatte ich Recht :)
@JamalS Ich habe hier absichtlich zu stark vereinfacht, um nicht in der Darstellungstheorie verloren zu gehen $SU(2) \cong Spin(3) \to SO(3)$ .
Ich stimme zu, aber ich habe nur daran gedacht, den Vorbehalt hinzuzufügen, dass es sich um eine Spalte mit Zahlen handelt, die sich auf besondere Weise transformieren, und dann einen Link zu einer entsprechenden Referenz hinzuzufügen, nur damit selbst Leser, die die Rep-Theorie nicht behandelt haben, wissen, dass sie dies tun sollten. Nehmen Sie das nicht ganz für bare Münze.
@JamalS Einverstanden. Ich habe einen Einführungsartikel verlinkt.

AccidentalTaylorExpansion · Answer 2

Fangen wir also ohne Schleudern an. Sie können die Wellenfunktion aus dem 'Ket-Vektor' extrahieren, indem Sie das innere Produkt mit dem bilden $|x\rangle$ Zustand. Der $|x\rangle$ ket stellt einen Zustand mit definierter Position dar, auf dem ein Teilchen vollständig lokalisiert ist $x$ . Dies ist kein physikalischer Zustand (man kann ihn nicht normalisieren), aber dennoch ein nützliches Werkzeug. Die Wellenfunktion wird dann wie extrahiert

ψ (X) = ⟨ X | ψ ⟩

$\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$ Das mag seltsam erscheinen, wenn Sie es noch nie so geschrieben gesehen haben, aber es macht viele Dinge klarer. Der

| x ⟩

$|x\rangle$ Zustände bilden eine orthonormale Basis:

⟨ X | j ⟩ = δ (X - j) \int D X | X ⟩ ⟨ X | = 1

$\langle x|y\rangle=\delta(x-y)\\ \int dx|x\rangle\langle x|=\mathbb{1}$ und um Sie davon zu überzeugen, dass dies richtig ist, können Sie das innere Produkt der Wellenfunktion berechnen:

\begin{aligned} ⟨ ψ | ψ ⟩ & = ⟨ ψ | (\int D X | X ⟩ ⟨ X |) | ψ ⟩ \\ = \int D X ⟨ ψ | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩ \\ = \int D X ψ^{*} (X) ψ (X) \end{aligned}

$\begin{align}\langle\psi|\psi\rangle&=\langle\psi|\left(\int dx|x\rangle\langle x|\right)|\psi\rangle\\ &=\int dx\langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle\\ &=\int dx\ \psi^*(x)\psi(x) \end{align}$ Um dies auf den Spin zu erweitern, betrachten wir den Zustand

| x, α ⟩

$|x,\alpha\rangle$ . Das ist ein Staat mit Stellung

x

$x$ und drehen

α

$\alpha$ . Für ein Spin 1/2 Teilchen

α

$\alpha$ könnte rauf und runter sein:

α = {↑, ↓}

$\alpha=\{\uparrow,\downarrow\}$ . Für die Wellenfunktion bedeutet dies

ψ_{a} (X) = ⟨ X, a | ψ ⟩

$\psi_\alpha(x)=\langle x,\alpha|\psi\rangle$ Wir können die sammeln

α

$\alpha$ Komponenten in einem Spaltenvektor. Für das Teilchen Spin 1/2:

(\begin{matrix} ψ_{↑} (X) \\ ψ_{↓} (X) \end{matrix})

$\begin{pmatrix}\psi_\uparrow(x)\\ \psi_\downarrow(x)\end{pmatrix}$ Auch die Spinzustände bilden eine orthonormale Basis. So wird zur Vervollständigung das innere Produkt

⟨ ψ | ψ ⟩ = \sum_{a} \int D X ψ_{a}^{*} (X) ψ_{a} (X)

$\langle\psi|\psi\rangle=\sum_\alpha\int dx\ \psi_\alpha^*(x)\psi_\alpha(x)$

Das war etwas mehr, als Sie verlangt haben, aber ich hoffe, es ist auf diese Weise klarer.

Ja, vielen Dank für diese Antwort, diese Art von Antworten (die etwas mehr in die Tiefe gehen) gefallen mir am besten. Es war auch sehr klar, und ich glaube, ich habe alles verstanden.

Karl Franz · Answer 3

Ja, die Terminologie ist manchmal etwas schlampig. Der Hilbert-Raum ist eigentlich das Produkt des unendlich dimensionalen Hilbert-Raums, der auf definiert ist $\mathbb R^3$ und zweidimensionaler Spinorraum (oder in relativistischem qm, 4-dimensionaler Raum von Dirac-Spinoren). Meine Empfehlung ist, die Terminologie zu ignorieren und sich auf die mathematische Struktur zu konzentrieren. Die Wellenfunktion kann auf beide Räume beschränkt werden, und davon spricht man. Aber wenn Sie sagen "Die Wellenfunktion enthält alles, was es über das Teilchen zu wissen gibt", bezieht sich dies auf die vollständige Wellenfunktion, nicht auf ihre Beschränkung auf Position oder Spinraum.

Wellenfunktion als Ket-Vektor in einem Hilbert-Raum

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