Was ist der Unterschied zwischen ψψ\psi und |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle?

$\psi (\vec{r},t)$ist, wie Sie sagten, nur eine Möglichkeit, den Vektor auszudrücken$|\psi (t)\rangle$in 'Positionsraum', mathematisch ausgedrückt wie in den Kommentaren geschrieben steht:

$$\psi (\vec{r},t) = \langle \vec{r} | \psi(t) \rangle = \int \delta(r'-r)\psi(t) d^3 r$$

Velut Luna gibt die Hauptantwort. Das sieht man daran, dass wir den Wahrscheinlichkeitserwartungswert haben$1~=~\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle$und mit der Fertigstellungssumme$\mathbb I~=~\int d^3r|\vec r\rangle\langle \vec r|$wir haben dann

$$1~=~\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle~=~\langle\psi(t)|\left(\int d^3r|\vec r\rangle\langle\vec r|\right)|\psi(t)\rangle~=~\int d^3r\langle\psi(t)| \vec r\rangle\langle\vec r|\psi(t)\rangle.$$ In der Wellenfunktionsform haben wir Einheit der Wahrscheinlichkeit als $$\int d^3r\psi^*(\vec r,t)\psi(\vec r,t).$$ die identifikation ist offensichtlich.

Es ist bequem, daran zu denken$\vert\psi\rangle$als Vektor mit Komponenten$\langle x\vert\psi\rangle=\psi(x)$für verschiedene Werte von$x$. Wenn Sie sich eher diskrete als kontinuierliche Werte vorstellen$x$, dann der Vektor$\vert\psi\rangle$wäre der unendliche Spaltenvektor

$$\left(\begin{array}{c} \vdots \\ \psi(x_{n-2})\\ \psi(x_{n-1})\\ \psi(x_{n})\\ \psi(x_{n+1})\\ \psi(x_{n+2})\\ \vdots \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \vdots \\ \langle x_{n-2}\vert \psi\rangle \\ \langle x_{n-1}\vert \psi\rangle \\ \langle x_{n}\vert \psi\rangle \\ \langle x_{n+1}\vert \psi\rangle \\ \langle x_{n+2}\vert \psi\rangle \\ \vdots \end{array}\right)$$ erhalten durch Zerlegung des Vektors $\vert\psi\rangle$auf der Grundlage von Staaten $\{\ldots, \vert x_{n-2}\rangle,\vert x_{n-1}\rangle,\vert x_{n}\rangle,\vert x_{n+1}\rangle,\vert x_{n+2}\rangle\ldots\}$

Es gibt einen Unterschied, der meiner Meinung nach ziemlich tief und subtil zwischen den beiden unterschiedlichen Notationen ist. Die zweite ist viel vielseitiger als die erste und universell in der Quantenmechanik verwendbar (während die erste es nicht ist). Zur Verdeutlichung sind die beiden Notationen:

• Eine komplexwertige Funktion$\psi(\cdot)$, mit etwas Platz - zB $\mathbb{R}^d$oder$\{\uparrow,\downarrow\} \times \mathbb{R}^d$- als Domäne.
• Ein Vektor in einem Hilbertraum$\psi\in\mathscr{H}$(oder$\lvert \psi\rangle$wenn Sie es vorziehen, werde ich ersteres verwenden).

Die Erklärung, warum die zweite universeller ist, lautet wie folgt. Wir wissen, dass jedes "vernünftige" physikalische Quantensystem mathematisch durch eine sogenannte nicht-abelsche C*-Algebra beschrieben werden kann, die die Menge der (nicht kommutativen) Observablen des Systems darstellt. Umgekehrt kann jede C*-Algebra durch einen Satz linearer Transformationen auf einem Hilbert-Raum dargestellt werden.

Nun, die C*-Algebra von$N$ nichtrelativistische Quantenteilchen in$d$Raumdimensionen hat bis auf unitäre Äquivalenz eine eindeutige irreduzible Repräsentation (ohne auf Details einzugehen, irreduzible Repr. sind die relevanten). Eine solche Darstellung ist die Algebra der (beschränkten) Operatoren auf dem Raum$L^2(\mathbb{R}^{dN})$, und die selbstadjungierten (unbeschränkten) Operatoren$(x_1,\dotsc,x_N)$Und$(-i\nabla_1,\dotsc,-i\nabla_N)$stellen die Orts- und Impulsoperatoren jedes Teilchens dar. Daher liegt es in diesem Fall nahe, ein Element des Hilbertraums der nichtrelativistischen Quantenmechanik als (Wellen-)Funktion zu schreiben$\psi(x_1,\dotsc,x_N)\in L^2(\mathbb{R}^{dN})$.

Letzteres gilt jedoch nicht mehr für die relativistische Quantenmechanik: Es gibt unendlich viele irreduzible inäquivalente Darstellungen für die Algebren von Quantenfeldobservablen, und insbesondere gibt es keine eindeutige natürliche Beschreibung in Form einer Wellenfunktion(en). In diesem Fall also die funktionale Notation$\psi(\cdot)$, selbst in Darstellungen, wo es möglich ist, ziemlich mehrdeutig und nicht so "universal" wie in der nicht-relativistischen Quantenmechanik.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Unterscheidung, solange es um die nicht-relativistische Quantenmechanik geht, fast nur ästhetisch ist, während man für allgemeinere (relativistische) Theorien im Wesentlichen die Idee einer "Wellenfunktion" ganz aufgeben und abstraktere Darstellungen der kanonischen Kommutierung in Betracht ziehen sollte Beziehungen, für die die Notation$\psi(\cdot)$könnte keinen Sinn machen (während$\psi$noch sinnvoll).

Lassen Sie mich abschließend auch einige mögliche Kommentare vorwegnehmen. Zwar sind alle trennbaren unendlichdimensionalen Hilbert-Räume isomorph, aber es gibt immer noch inäquivalente Darstellungen der C*-Algebra in relativistischen Systemen. Angesichts des Vakuumvektors$\Omega$in einer gegebenen trennbaren Darstellung$\mathscr{K}$, es ist tatsächlich möglich, es auf eine Wellenfunktion in zB abzubilden $L^2(\mathbb{R})$, aber es ist unmöglich zu sagen, was der Feldoperator in letzterem wäre (und daher ist die Karte nutzlos).