Tensorprodukt in der Quantenmechanik?

$\lvert A\rangle \langle B \rvert$ist der Tensor eines Ket und eines BHs (na ja, duh). Dies bedeutet, dass es ein Element des Tensorprodukts eines Hilbert-Raums ist$H_1$(dort leben die Kets) und eines Duals eines Hilbert-Raums$H_2^\ast$, wo die BHs leben. Obwohl für Hilbert-Räume ihre Duale isomorph zum ursprünglichen Raum sind, sollte diese Unterscheidung beachtet werden. So können wir einen Ket "füttern".$\lvert \psi\rangle$aus$H_2$zum BH rein$\lvert \phi\rangle\otimes \langle\chi\rvert \in H_1\otimes H_2^\ast$, und haben einen Zustand in$H_1$gegeben von$\langle \chi \vert \psi\rangle \lvert \phi\rangle$. Der übliche Anwendungsfall für ein solches Tensorprodukt ist when$H_1=H_2$daraus eine Karte zu konstruieren$H_1$auf sich selbst, zB den Projektor auf einen Zustand$\lvert \psi \rangle$wird von gegeben$\lvert\psi\rangle \langle \psi \rvert$.

Im Allgemeinen ein Tensor in$H_2 \otimes H_1^\ast$entspricht einem linearen Operator$H_1\to H_2$. Im endlichdimensionalen Fall sind das alles lineare Operatoren , im unendlichdimensionalen Fall gilt das nicht mehr, z$H^\ast \otimes H$liegen gerade die Hilbert-Schmidt-Operatoren an$H$.

Im Gegensatz dazu ein Tensor$\lvert A\rangle\otimes \lvert B\rangle$(auch gerade geschrieben$\lvert A \rangle \lvert B\rangle$) in$H_1\otimes H_2$, obwohl es einer bilinearen Abbildung entspricht$H_1\times H_2\to\mathbb{C}$soll per definitionem normalerweise keinen Operator bezeichnen, sondern einen Zustand . Gegeben seien zwei Quantensysteme$H_1$und$H_2$,$H_1\otimes H_2$ist der Raum der Zustände des kombinierten Systems (zum Warum siehe diese Frage ).

Der Begriff des Tensorprodukts ist unabhängig von der Hilbertraumstruktur, er ist für Vektorräume auf dem Körper definiert$\mathbb K$(normalerweise$\mathbb R$oder$\mathbb C$). Eine formale Definition ist unten angegeben (es gibt viele äquivalente Ansätze).

Erstens, wenn$V$ist ein Vektorraum,$V^*$bezeichnet seinen algebraischen Dualraum , nämlich den Vektorraum der linearen Abbildungen$f: V \to \mathbb K$mit Vektorstruktur definiert durch:

$$(af+bg)(u) := af(u) + bg(u)\quad \forall u \in V \tag 0$$ wenn $f,g \in V^*$. Es stellt sich heraus, dass $\textrm{dim} \,V = \textrm{dim} \,V^*$wenn $\textrm{dim}\, V$ist endlich, der Beweis ist elementar. Allerdings ist die gegebene Definition von $V^*$erfordert keine Endlichkeit der Dimension von $V$.

Um fortzufahren, beachten Sie das$V$identifiziert sich mit einem Unterraum von$(V^*)^*$mittels der injektiven linearen Abbildung

$$\imath: V \ni v \mapsto \imath(v) \quad \mbox{where $\imath(v)(f) := f(v)$ if $f \in V^*$}\tag 1$$ Die lineare Einbettung $\imath : V\to (V^*)^*$ist ein natürlicher Vektorraum-Isomorphismus vorausgesetzt, wiederum $\textrm{dim}\, V$endlich ist, wobei der Beweis offensichtlich ist, da die Einbettung eine lineare und injektive Abbildung zwischen Räumen mit gleicher endlicher Dimension ist.

Die Einbettung (1) erlaubt uns, einen Vektorraum zu definieren, der als Tensorprodukt bezeichnet wird

$$V_1 \otimes \ldots \otimes V_n$$ von Vektorräumen $V_1,\ldots, V_n$, mit dem gemeinsamen Feld der Skalare $\mathbb K$.

Das Tensorprodukt ist ein Unterraum des Vektorraums${\cal L}(V^*_1,\ldots, V^*_n)$von multilinearen Karten $F$mit

$$F: V^*_1\times \cdots \times V^*_n \ni (f_1,\ldots, f_n) \mapsto F(f_1,\ldots, f_n)\:.$$ Die Vektorraumstruktur auf ${\cal L}(V^*_1,\ldots, V^*_n)$ist entlang einer offensichtlichen Verallgemeinerung von (0) definiert.

In der Tat, wenn wir auswählen$v_i \in V_i$zum$i=1,\ldots, n$wir können die multilineare Karte über konstruieren$V^*_1\times \cdots \times V^*_n$heißt Tensorprodukt von Vektoren$v_i \in V_i$wie

$$v_1\otimes \cdots \otimes v_n : (f_1,\ldots, f_n) \mapsto f_1(v_1)\cdots f_n(v_n)\:.$$

Bestimmung .$V_1 \otimes \ldots \otimes V_n$ist der Unterraum von${\cal L}(V^*_1,\ldots, V^*_n)$aufgespannt durch alle endlichen Linearkombinationen von Tensorprodukten$v_1\otimes \cdots \otimes v_n$zum$v_i \in V_i$zum$i=1,\ldots, n$.

Es stellt sich heraus, dass, wenn$dim V_i$ist für alle endlich$i$, dann$\dim (V_1 \otimes \ldots \otimes V_n) = \prod_{i=1}^n dim V_i$und

$$V_1 \otimes \ldots \otimes V_n = {\cal L}(V^*_1,\ldots, V^*_n)\:.$$ (Es gibt eine Eigenschaft des Paares $(V_1 \otimes \ldots \otimes V_n, \otimes)$Universalitätseigenschaft genannt , die den Begriff des Tensorprodukts auf der Ebene der Kategorientheorie charakterisieren, aber ich denke nicht, dass es notwendig ist, sie hier zu beschreiben.)

Kommen wir zum Hilbertschen Tensorprodukt von Hilberträumen. Betrachten Sie eine endliche Anzahl von (komplexen) Hilbert-Räumen$H_1, \ldots, H_n$mit entsprechenden hermitischen Skalarprodukten$\langle \cdot| \cdot \rangle_1, \ldots, \langle \cdot| \cdot \rangle_n$. Unter Berufung auf die obige Definition können wir zunächst ihr algebraisches Tensorprodukt definieren

$$H_1 \otimes \cdots \otimes H_n\:.$$ Dies ist noch kein Hilbertraum. Es ist jedoch möglich (nicht so einfach), das zu beweisen $H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$lässt ein hermitisches Skalarprodukt zu, das durch die Einsen von jedem induziert wird $H_i$. Dieses Skalarprodukt $\langle \cdot| \cdot \rangle$es ist die einzigartige rechtslineare und linksantilineare Erweiterung von $$\langle \psi_1 \otimes \cdots \otimes\psi_n| \phi_1 \otimes \cdots \otimes\phi_n\rangle = \prod_{i=1}^n \langle \psi_i|\phi_i\rangle_i \:.\tag 2$$ Die besagte (anti)lineare Erweiterung ist notwendig, weil $\psi_1 \otimes \cdots \otimes\psi_n$ist nicht das generische Element von $H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$, ist das generische Element eine endliche Linearkombination dieser Elemente!

Es stellt sich heraus, dass die eindeutige (Anti)Liner-Erweiterung von (2) ein hermitisches Skalarprodukt auf definiert$H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$, insbesondere die Extension ist positiv definiert .

Bestimmung . Das Hilbertsche Tensorprodukt von (komplexen) Hilberträumen$H_1, \ldots, H_n$ist der (komplexe) Hilbertraum$H_1 \otimes_H \cdots \otimes_H H_n$gegeben als Vervollständigung des algebraischen Tensotprodukts$H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$in Bezug auf das hermitische Skalarprodukt$\langle\cdot |\cdot \rangle$die sich eindeutig (anti)linear erstreckt (2).

Die Vervolständigung$\overline{V}$eines Vektorraums$V$mit einem hermiteschen Skalarprodukt ausgestattet$\langle \cdot |\cdot \rangle$ist der vollständige (Hilbert-)Raum der Äquivalenzklassen der Cauchy-Folgen in$V$ausgestattet mit der einzigartigen Endlosverlängerung von$\langle \cdot |\cdot \rangle$. Es ist also eindeutig definiert (bis auf Hilbertraum-Isomorphismen) und$V$ist dicht drin$\overline{V}$.

Ein grundlegendes (auch im QM) Ergebnis ist, dass

Vorschlag . Wenn$\{\psi_{i,j_i}\}_{j_i\in I_j} \subset H_i$ist eine Hilbert-Basis (sogar unabzählbar) des Hilbert-Raums$H_i$dann

$$\{\psi_{1,j_1} \otimes \cdots \otimes \psi_{n,j_n}\}_{j_1\in I_1, \ldots,j_n\in I_n } \subset H_1 \otimes_H \cdots \otimes_H H_n$$ ist eine Hilbert-Basis von$H_1 \otimes_H \cdots \otimes_H H_n$. Deswegen$H_1 \otimes_H \cdots \otimes_H H_n$ist trennbar, wenn jeder$H_i$ist trennbar.

Ein zweites wichtiges Ergebnis, das im QM sehr häufig verwendet wird$H_i = L^2(X_i, \mu_i)$wo$\mu_i$ist$\sigma$-endlich (wie beim Standard-Lebesgue-Maß über$\mathbb R^n$) lautet wie folgt.

Vorschlag . Davon ausgehen$H_i = L^2(X_i, \mu_i)$, wo$\mu_i$ist$\sigma$-endlich. Dann die Karte

$$L^2(X_1, \mu_1)\otimes_H \cdots \otimes_H L^2(X_n, \mu_n) \ni \psi_1\otimes \cdots \otimes \psi_n \mapsto \psi_1 \cdots \psi_n \in L^2(X_1\times \cdots \times X_n, \mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_n)$$ erstreckt sich eindeutig kontinuierlich und linear zu einem Hilbert-Raum-Isomorphismus.

Über$\psi_1 \cdots \psi_n$ist das punktweise Standardprodukt

$$\psi_1 \cdots \psi_n(x_1,\ldots,x_n) := \psi_1(x_1) \cdots \psi_n(x_n)\:.$$

NB: Ich bezeichne fortan mit$H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$das Hilbertsche Tensorprodukt ohne Index$_H$, wodurch die Standardnotation in Lehrbüchern der Quantenmechanik übernommen wird.

Ich bin jetzt in der Lage, die Frage rigoros zu beantworten. Beachten Sie zuerst, dass der topologische Dualraum $H'$eines Hilbertraums$H$, das ist der Unterraum$H' \subset H^*$aus kontinuierlichen linearen Abbildungen$f : H \to \mathbb C$ist ein eigenständiger Hilbert-Raum.

In der Tat besagt der berühmte Satz von Riesz dies

Satz . Wenn$H$ist ein Hilbertraum mit Skalarprodukt$\langle \cdot | \cdot \rangle$, die Karte

$$H \ni \psi \mapsto \langle \psi | \cdot \rangle \in H'$$ ist antilinear und bijektiv. Also jedes Element$f$des topologischen Dualraums$H'$wird vertreten durch$\langle \psi_f | \cdot \rangle$mit$\psi_f \in H$eindeutig bestimmt durch$f$.

Offensichtlich$H'$ist der Raum der "BH"-Vektorverkürzung$\langle \psi | \cdot \rangle$zu$\langle \psi|$.

Es ist klar, dass angesichts des angegebenen Ergebnisses$H'$stellt sich als Hilbertraum heraus, sobald wir das Skalarprodukt definieren

$$\langle f | g \rangle' := \overline{\langle \psi_f | \psi_g\rangle}\:.$$

Diese Funktion von$H'$erlaubt uns, das Hilbertsche Tensorprodukt zu definieren

$$H_1 \otimes H_2'$$ die Elemente sind lineare Kombinationen (ebenfalls unendlich, sofern sie in der natürlichen Topologie des Raums konvergieren) elementarer Tensorprodukte $$\psi \otimes f = |\psi \rangle \otimes \langle \phi| = |\psi \rangle \langle \phi|$$ wobei ich auch einige gebräuchliche Notationen verwendet habe, die in Physiklehrbüchern verwendet werden.

Der Unterschied zwischen$|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$(ein Element von$H_1 \otimes H_2$) und$|\psi \rangle \otimes \langle \phi|$(ein Element von$H_1 \otimes H_2'$) sollte jetzt klar sein.

Das ist auch klar$|\psi \rangle \otimes \langle \phi|$definiert einen stetigen Operator$H_2 \to H_1$. Auch unendliche Linearkombinationen dieser Operatoren werden bezüglich des natürlichen Skalarprodukts als konvergent angenommen$H_1 \otimes H_2'$, definieren stetige lineare Operatoren$H_2 \to H_2$. Diese Operatoren sind kompakt (sie transformieren beschränkte Mengen in kompakte Mengen) und erfüllen bezüglich des Spurbegriffs eine weitere Eigenschaft, die sie als Hilbert-Schmidt-Operatoren auszeichnet$H_2$zu$H_1$.

Beachten Sie das als letzte Bemerkung$I = \sum_k |\psi_k \rangle \langle \psi_k|$bezogen auf eine Hilbert-Basis$\{\psi_k\}_{k\in K}$gehört nicht dazu$H_1 \otimes H_2'$trotz der Notation if$K$ist nicht endlich! Dies liegt daran, dass dieser Vektor keine endliche Norm in hat$H_1 \otimes H_2'$und die Konvergenz der Reihe muss interpretiert werden, indem eine andere Topologie ausgenutzt wird, die sogenannte starke Operatortopologie .