Tensorprodukt in der Quantenmechanik

$|\phi(1)\rangle \otimes |\chi(2)\rangle$ist eine umständliche Notation, um ket entsprechend zu schreiben$\psi$Funktion$\phi(\mathbf r_1)\chi(\mathbf r_2)$, Wo$\mathbf r_i$bezieht sich auf die Koordinaten der$i$-tes Subsystem. Deshalb die Reihenfolge der Faktoren in$\otimes$Produkt spielt keine Rolle; das resultierende ket entspricht dem gleichen$\psi$Funktion und ist somit das gleiche Ket.

Andererseits,$|\phi\rangle \otimes |\chi\rangle$(ohne Beschriftungen) soll nach anderen Konventionen gelesen werden; Hier wird allgemein verstanden, dass die Reihenfolge der Faktoren das Subsystem bezeichnet, auf das sie sich bezieht. So

$|\phi\rangle \otimes |\chi\rangle$bezeichnet ket entsprechend$\phi(\mathbf r_1)\chi(\mathbf r_2)$genauso wie$|\phi(1)\rangle \otimes |\chi(2)\rangle$geht, aber :

$|\chi\rangle \otimes |\phi\rangle$bezeichnet ket entsprechend$\chi(\mathbf r_1)\phi(\mathbf r_2)$was nicht dasselbe ist. Dies liegt an der unterschiedlichen Bedeutung von$\otimes$Notation verwendet wird.

Sie haben Recht damit, dass das Tensorprodukt im Allgemeinen nicht pendelt. Die Anordnung von Vektoren in einem Tensorprodukt, sagen wir

$$\begin{equation*} |\psi\rangle\otimes|\phi\rangle\otimes|\xi\rangle \equiv |u\rangle \end{equation*}$$ bezieht sich implizit darauf, wie der resultierende Hilbert-Raum über das Tensorprodukt definiert ist. Lassen Sie uns zu den obigen Vektoren assoziieren $|\psi\rangle\in H_{\psi}$, $|\phi\rangle\in H_{\phi}$Und $|\xi\rangle\in H_{\xi}$. In diesem Fall haben wir implizit gesagt, dass der Hilbert-Raum für unseren Vektor $|u\rangle$Ist $$\begin{equation*} |u\rangle\in U\equiv H_{\psi}\otimes H_{\phi}\otimes H_{\xi} \end{equation*}$$ Man muss sich nur die Reihenfolge merken, wie der zugrunde liegende Hilbert-Raum gebildet wird. Für eine physikalische Beschreibung in der Quantentheorie spielt die Reihenfolge keine Rolle.

Genauer gesagt in Ihrem Fall, wenn Sie sagen

$$\begin{equation*} |\chi(2)\rangle\otimes |\phi(1)\rangle \end{equation*}$$ es bedeutet nur, dass der Vektor zu gehört $H_{2}\otimes H_{1}$, statt $H_{1}\otimes H_{2}$.

Stellen Sie sich zwei verschiedene Teilchen vor, zB ein Proton und ein Elektron, ersteres beschrieben durch Funktionen im Hilbertraum$\mathcal H_p$, und letztere durch Funktionen im Hilbertraum$\mathcal H_e$. Nehmen Sie nun einen Basiszustand an$\phi_1, \phi_2,...$In$\mathcal H_p$und eine Basis$\chi_1, \chi_2,...$In$\mathcal H_e$. Ihr Teilchenpaar ist (Proton, Elektron) oder ist (Elektron, Proton) ? Es spielt keine Rolle, oder? Dasselbe gilt für die Beschreibung des Zustands des Pir,

$$\Psi = \sum_{i,j} C_{i,j} \ \phi_i \otimes \chi_j = \sum_{i,j} C_{i,j} \ \chi_i \otimes \phi_j . \tag {i}$$

Nun gibt es eine Situation, in der es auf die Reihenfolge ankommt: Wenn die Funktionen$\chi$Und$\phi$gleich aussehen, z. B. die Eigenfunktionen der Spin-$z$Projektionsoperator,$|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle$. In diesem Fall nehmen wir statt durch Indizes zu erwähnen, auf welches Teilchen wir uns beziehen, eine Reihenfolge an, z. B. schreiben wir in jedes Zustandsprodukt zuerst den Zustand des Elektrons und dann den des Protons:$|\uparrow\rangle \otimes |\downarrow\rangle$bedeutet, dass das Elektron Spin-up und das Proton Spin-down hat.