Dirac-Notation - Produktspur von (zweiteiligen) Dichtematrizen

In Bezug auf die Notation können Sie beide verwenden

$$\begin{align} A\rho & = \sum_{ijk} p_k \Big(|i \rangle \langle j | \otimes |i \rangle \langle j |\Big) \Big(| k \rangle \langle k | \otimes |k\rangle \langle k |\Big) \\ & = \sum_{ijk} p_k |i \rangle \langle j |k \rangle \langle k | \otimes |i \rangle \langle j |k \rangle \langle k | . \end{align}$$ Wie Sie gut bemerken, hier die $⟨j|k⟩$geben $\delta_{jk}$'s, also die Summe vorbei $k$geht weg: $$\begin{align} A\rho & = \sum_{ij} p_j |i \rangle \langle j | \otimes |i \rangle \langle j |. \end{align}$$ Der Rest Ihrer formalen Manipulationen ist ebenfalls in Ordnung:

$$\mathrm{Tr} \left(A\rho\right) = \sum_{ij} p_j \mathrm{Tr} \Big(|i \rangle \langle j | \otimes |i \rangle \langle j | \Big) = \sum_{ij} p_j \delta_{ij} = 1.$$

Das sieht zwar etwas verdächtig aus, ist aber aufgrund der speziellen Struktur von sinnvoll$A$Und$\rho$. Es ist kein Widerspruch, weil es nichts gibt, was verlangt, dass das Produkt von Dichtematrizen so etwas wie eine Dichtematrix ist: wenn$\rho$Und$\sigma$pendle nicht,$\rho\sigma$ist nicht einmal hermitesch, geschweige denn positiv semidefinit; wenn Sie ein Beispiel für Dichtematrizen wollen, deren Produkt eine Spur hat$≠1$, versuchen$\sigma^2$für

$$\sigma=\begin{pmatrix}1/2 & 0 \\ 0 & 1/2\end{pmatrix}.$$