So schreiben Sie eine generische Dichtematrix für ein Multi-Qubit-System

Ich las den papiergeräteunabhängigen Ausblick auf die Quantenmechanik . Der Autor definiert eine generische Zwei-Qubit-Dichtematrix als

$$\rho=\frac{1}{4}\left( I \otimes I + \vec{r_{\rho}} \cdot \vec{\sigma}\otimes I + I \otimes \vec{s_{\rho}} \cdot \vec{\sigma} + \sum_{i,j=x,y,z}T^{ij}_{\rho} \sigma_i \otimes \sigma_j \right) \, . \tag{1}$$

Wie wird es erhalten und welche Einschränkungen gibt es?$T^{ij}_{\rho}$? Da es eine gewisse Symmetrie hat, kann auch eine allgemeine 3-Qubit-Dichtematrix geschrieben werden als

$$\begin{align} \rho = \frac{1}{8} &\left( I \otimes I \otimes I + \vec{r_{\rho}} \cdot \vec{\sigma} \otimes I \otimes I + I \otimes \vec{s_{\rho}}\cdot \vec{\sigma} \otimes I + I \otimes I \otimes \vec{t_{\rho}}.\vec{\sigma} \right. \\ &+ \sum_{i,j=x,y,z}T^{ij}_{\rho} \sigma_i \otimes \sigma_j \otimes I + \sum_{i,j=x,y,z}U^{ij}_{\rho} \sigma_i \otimes I \otimes \sigma_j \\ &\left. + \sum_{i,j=x,y,z}W^{ij}_{\rho} I \otimes \sigma_i \otimes \sigma_j +\sum_{i,j,k=x,y,z}X^{ij}_{\rho} \sigma_i \otimes \sigma_j \otimes \sigma_k \right) ? \end{align}$$ Hier $\vec{r_{\rho}}, \vec{s_{\rho}}, and \vec{t_{\rho}}$sind dreidimensionale Vektoren mit reellen Komponenten, die jeweils eine Größe haben $\le 1$.

BEARBEITEN:

Ich verstehe, dass der Tensor von Pauli-Matrizen als Grundlage dient, kann aber die Bedingung nicht aktivieren$T_{ij}$. Ich konnte rückwärts arbeiten, um das zu sehen$T_{\rho}^tT_{\rho}$muss so sein, dass sein maximaler Eigenwert ist$\le 1$so dass die CHSH-Ungleichung nur maximal bis zu verletzt wird$2\sqrt{2}$. Wenn diese Bedingung also nicht eingehalten wird$(1)$sollte keine gültige Dichtematrix sein. Das eingegebene Formular$(1)$ist bereits hermitesch und hat Spur 1. Also für$T_{\rho}^tT_{\rho}$mit maximalem Eigenwert$\ge1$ $(1)$ist vielleicht kein positiver Operator, aber ich kann das nicht beweisen.