Bedeutet dieses Zitat aus meinem Lehrbuch, dass nicht alle Zustände Superpositionen sind?

Du schließt richtig. Nicht alle physikalischen Zustände, die einem Qubit zur Verfügung stehen, sind reine Überlagerungen, und es kann auch Zustände einnehmen, die als gemischte Zustände bekannt sind, die auf halbem Weg zwischen einer Überlagerung von liegen$|0⟩$Und$|1⟩$, und eine einfache probabilistische Mischung zwischen den beiden.

Zustände des Formulars

$$|\psi⟩=\alpha|0⟩+\beta|0⟩\tag1$$ sind als reine Zustände bekannt, und dies sind die (reinen) Überlagerungen. Wenn wir die Quantenmechanik zum ersten Mal unterrichten, konzentrieren wir uns auf diese, weil (i) diese die Unterschiede zwischen QM und klassischer Physik zusammenfassen und (ii) sie viel einfacher zu handhaben sind als gemischte Zustände.

Der Staat$(1)$wird oft so formuliert, dass das System irgendwie "beides" drin ist$|0⟩$Und$|1⟩$gleichzeitig. Dieses naive Verständnis ist nicht 'falsch', sondern nur, weil es nicht wirklich viel bedeutet - was bedeutet es überhaupt? Das erste, was auffällt, ist, dass es eine Wahrscheinlichkeit hat, wenn man es sich wirklich ansieht$p$drin zu sein$|0⟩$und eine Wahrscheinlichkeit$1-p$drin zu sein$|1⟩$.

Das Problem dieser Erklärung ist, dass der Zustand, wie beschrieben, gar nicht so magisch ist. Es ist durchaus möglich, innerhalb der klassischen Physik eine Box zu erzeugen, die Nullen enthält$p$der Zeit und diejenigen$1-p$der Zeit, einfach durch das Werfen von Münzen, bevor man die Kästen schließt. Eine Überlagerung hingegen ist etwas darüber hinausgehendes. Wenn Sie den Zustand ein wenig umformulieren, können Sie ihn schreiben als

$$|\psi⟩=\sqrt p|0⟩+e^{i\phi}\sqrt{1-p}|0⟩,\tag2$$ wo die Wahrscheinlichkeiten explizit angegeben sind, aber es gibt noch eine weitere Zutat: die relative Phase zwischen den beiden Komponenten, $\phi$. Wenn sich der Zustand wirklich in einer Überlagerung befindet, können Sie Experimente zwischen den beiden durchführen, bei denen die beiden Komponenten sinusförmig interferieren $\phi$.

Eine gute Möglichkeit, sich gemischte Zustände vorzustellen, sind Überlagerungszustände, bei denen die Informationen über diese Phase etwas unsicher sind. Wenn das passiert, wird das Interferenzmuster etwas ausgewaschen und die Streifen sind weniger ausgeprägt als im reinen Zustand. Im schlimmsten Fall haben wir überhaupt keine Informationen über die Phase, und das kann sein$\phi=0$in einer Erkenntnis und$\phi=\pi$im nächsten. In diesem Fall liegen die Spitzen einer Erkenntnis auf den Tälern der nächsten, und im Durchschnitt werden Sie keine Interferenzen sehen. Dieser ungünstigste Fall ist von einer klassischen, probabilistischen Mischung nicht zu unterscheiden.

Um gemischte Zustände korrekt zu beschreiben, muss man sich von der Wellenfunktion als Deskriptor des Systemzustands entfernen und Dichtematrizen verwenden . Die Dichtematrix des Systems ist ein hermitescher, positiver Operator$\hat\rho$der gehorcht$\operatorname{Tr}(\hat\rho)=1$, und die Ihnen den Erwartungswert jedes beobachtbaren Systems gibt$\hat A$über

$$\left\langle\hat A\right\rangle=\operatorname{Tr}\left(\hat\rho\hat A\right).$$ Für einen reinen Zustand ist die Dichtematrix gleich $\hat\rho=|\psi⟩⟨\psi|$. Für eine probabilistische Mischung reiner Zustände $|\psi_n\rangle$mit Wahrscheinlichkeiten $p_n$(Wo $\sum_np_n=1$), ist die Dichtematrix $\hat \rho=\sum_n|\psi_n⟩⟨\psi_n|$. Schließlich ist die allgemeinste Dichtematrix der Dichtematrix eines Qubits, in der $\{|0⟩,|1⟩\}$Grundlage, ist gegeben durch $$\hat\rho=\begin{pmatrix}p&ce^{-i\phi}\sqrt{p(1-p)}\\ ce^{i\phi}\sqrt{p(1-p)}&1-p\end{pmatrix}$$ Hier $p$Und $\phi$sind wie zuvor, und Sie haben eine neue Variable: den Kohärenzgrad . $c$, was gleich ist $1$für einen reinen Zustand, $0$für eine klassische, probabilistische Mischung und im Allgemeinen irgendwo dazwischen.

Jedes Qubit kann als Überlagerung der Basiszustände geschrieben werden$|0\rangle$Und$|1\rangle$.

Wenn Sie mit Zuständen arbeiten möchten, die durch mehr als 1 Qubit beschrieben werden, müssen Sie in einem anderen Hilbert-Raum arbeiten. Angenommen, wir nennen den 1-Qubit-Raum$\mathcal{H}$dann wird der 2-Qubit-Hilbert-Raum sein$\mathcal{H} \otimes \mathcal{H}$. Die Zustände in diesem neuen Raum werden keine Überlagerungen von sein$|0\rangle$Und$|1\rangle$; sondern Überlagerungen von$|00\rangle$,$|10\rangle$,$|01\rangle$, Und$|11\rangle$.