Äquivalenzklassen in einem Hilbertraum

Ich lese etwas über Quanteninformations-/Quantencomputertheorie und bin gegen eine Wand gelaufen. Ich weiß, was mit einer Äquivalenzklasse gemeint ist und wie etwas in Äquivalenzklassen unterteilt werden kann, aber ich brauche Hilfe bei den folgenden zwei Fragen:

  1. Wie lässt sich eine Partitionierung eines Hilbertraums natürlich realisieren?

  2. Wie kann ein Dichteoperator als eine Äquivalenzklasse angesehen werden, die eine Reihe verschiedener möglicher Ensembles darstellt?

Für das 1. habe ich keine Ahnung, während ich für das 2. dachte, es hat etwas mit der Gleichung für die Erwartung einiger Beobachtbarer zu tun A ^ , ⟨ A ^ ⟩ = T R ( ρ A ^ ) , da die Spur zyklisch invariant und damit eine unitäre Transformation ist | ψ ' ⟩ → U ^ | ψ ⟩ , A ' ^ → U − 1 ^ A ^ U ^ , Weil

⟨ A ' ^ ⟩ = T R ( ρ ' A ' ^ ) = T R ( U − 1 ^ ρ U ^ U − 1 ^ A ^ U ^ ) = T R ( U − 1 ^ ρ A ^ U ^ ) = T R ( ρ A ^ U ^ U − 1 ^ ) = ⟨ A ^ ⟩

Aber das gleiche Argument funktioniert für die Erwartung, die über den Satz von Ehrenfest berechnet wird.

Ich habe überall gesucht und nichts gefunden.

Wie sehen Elemente in einem Hilbertraum aus?
Du meinst Vektoren?
Ja, aber im Allgemeinen ist ein Hilbert-Raum ein Vektorraum . Ich würde mir vorstellen, dass Sie mit einem Vektorraum mit Elementen arbeiten, die Lösungen für eine Art Operatorgleichung sind. Wenn Sie mehr über die Vektorraumstruktur des Hilbert-Raums erfahren, den Sie betrachten (Basis?), kann dies dazu beitragen, eine geeignete Aufteilung des Raums zu finden.
Könnten Sie einen Verweis auf die QC-Diskussion geben? Meine Vermutung geht in diese Richtung. Für eine gegebene Dichtematrix kann sie mehrere mögliche gemischte Zustände darstellen. Alle diese Möglichkeiten für eine Matrix befinden sich also in einer Äquivalenzklasse, in dem Sinne, dass sie dieselbe Dichtematrix und damit dieselben messbaren Ergebnisse für jedes Experiment erzeugen. Aber gemischte Zustände sind keine Elemente des (ursprünglichen) Hilbert-Raums , daher wäre es bei der Beantwortung hilfreich, wenn wir wüssten, welcher Hilbert-Raum aufgeteilt wird.

Antworten (1)

Im Kontext der Physik gibt es „natürliche“ Äquivalenzbeziehungen, die durch die folgende Vorstellung motiviert sind: Mathematische Objekte, die dieselbe Physik bestimmen, sollten als äquivalent betrachtet werden. Diese Äquivalenzbeziehungen führen zu Partitionen der Mengen, auf denen sie definiert sind.

Ausgestattet mit dieser Idee wollen wir die beiden von Ihnen genannten Punkte untersuchen:

  1. Lassen H ein Hilbertraum sein. Die Nicht-Null-Elemente dieses Raums können als Zustände eines Quantensystems betrachtet werden. Zwei solche Zustände, die sich um einen komplexen Faktor ungleich Null unterscheiden, sollten als äquivalent betrachtet werden, weil sie dieselbe Physik bestimmen (z. B. dieselben Übergangswahrscheinlichkeiten ergeben). Im Ergebnis tritt eine physikalisch natürliche Äquivalenzbeziehung auf H wie folgt definiert: ein Vektor ungleich Null | ψ 1 ⟩ soll äquivalent zu einem anderen Nicht-Null-Vektor sein | ψ 2 ⟩ vorausgesetzt, es existiert eine komplexe Zahl ungleich Null C wofür

    | ψ 1 ⟩ = C | ψ 2 ⟩ .
    Die durch diese Beziehung bestimmten Äquivalenzklassen heißen Strahlen , und die Menge aller solcher Äquivalenzklassen heißt projektiver Hilbert-Raum, bestimmt durch H . Diese Menge wird oft bezeichnet P ( H ) .

  2. Lassen P = ( P 1 , P 2 , … ) eine Folge von nicht negativen reellen Zahlen sein, deren Summe ist 1 , und lass Ψ = ( | ψ 1 ⟩ , | ψ 2 ⟩ , … ) sei eine Folge von Vektoren der Einheitslänge in einem Hilbert-Raum H . Ein Paar E = ( P , Ψ ) solcher Sequenzen wird als Ensemble bezeichnet . Diese mathematische Definition kann als entsprechend betrachtet werden N ≫ 1 Quantensysteme wie das N k = P k N von ihnen werden im reinen Zustand hergestellt | ψ k ⟩ . Daher jeder P k kann als die Wahrscheinlichkeit betrachtet werden, dass einer der N Systeme wird im reinen Zustand hergestellt | ψ k ⟩ . An jedes Ensemble E , können wir einen Dichteoperator wie folgt zuordnen:

    ρ E = ∑ k P k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | .
    Wir sagen, dass ein Ensemble E 1 entspricht einem Ensemble E 2 sofern sie denselben Dichteoperator bestimmen:
    ρ E 1 = ρ E 2 .
    Die Idee hinter dieser Definition ist, dass der jedem Ensemble zugeordnete Dichteoperator die gesamte damit verbundene Physik bestimmt (z. B. Ensemblemittelwerte von Observablen). Aus physikalischer Sicht sollten Ensembles, die denselben Dichteoperator ergeben, nicht als unterschiedlich betrachtet werden .

Äquivalenzklassen in einem Hilbertraum
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