Wie unterscheidet sich eine Quantenüberlagerung von einem gemischten Zustand?

Der Staat

ist ein reiner Zustand. Das heißt, es besteht keine 50% ige Chance, dass sich das System in diesem Zustand befindet$|\psi_1\rangle$und zu 50% ist es im Staat$|\psi_2\rangle$. Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 0 %, dass sich das System in einem dieser Zustände befindet, und eine Wahrscheinlichkeit von 100 %, dass sich das System in diesem Zustand befindet$|\Psi\rangle$.

Der Punkt ist, dass diese Aussagen alle gemacht werden, bevor ich irgendwelche Messungen mache.

Es ist wahr, dass, wenn ich die entsprechende Observable messe$\psi$($\psi$-gulärer Impuls :)), dann besteht eine 50% ige Chance, dass das System nach dem Zusammenbruch in den Zustand gerät$|\psi_1\rangle$.

Nehmen wir jedoch an, ich entscheide mich dafür, eine andere Observable zu messen. Nehmen wir an, das Observable wird aufgerufen$\phi$, und sagen wir mal so$\phi$Und$\psi$sind inkompatible Observablen in dem Sinne, dass als Operatoren$[\hat{\psi},\hat{\phi}]\neq0$. (Mir ist klar, dass ich verwende$\psi$in gewisser Weise war dies ursprünglich nicht beabsichtigt, aber Sie wissen hoffentlich, was ich meine). Die Inkompatibilität bedeutet das$|\psi_1 \rangle$ist nicht nur proportional zu$|\phi_1\rangle$, es ist eine Überlagerung von$|\phi_1\rangle$Und$|\phi_2\rangle$(die beiden Operatoren werden nicht simultan diagonalisiert).

Dann wollen wir uns neu ausdrücken$|\Psi\rangle$im$\phi$Basis. Nehmen wir an, wir finden

Dies wäre beispielsweise der Fall, wenn

Aber sagen wir jetzt, dass das System mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % im reinen Zustand ist$|\psi_1\rangle$, und eine Wahrscheinlichkeit von 50 %, dass sich das System im reinen Zustand befindet$|\psi_2\rangle$. Keine Überlagerung, eine echte Unsicherheit darüber, wie der Zustand des Systems ist. Wenn der Staat ist$|\psi_1 \rangle$, dann gibt es eine 50% Chance, dass die Messung$\phi$wird das System in den Staat stürzen$|\phi_1\rangle$. Inzwischen, wenn der Staat ist$|\psi_2\rangle$, habe ich eine 50-prozentige Chance, das System darin zu finden$|\phi_1\rangle$nach dem Messen. Also die Wahrscheinlichkeit, das System im Zustand zu messen$|\phi_1\rangle$nach dem Messen$\phi$, ist (50 % sind dabei$\psi_1$)(50% Messung$\phi_1$) + (50 % sind dabei$\psi_2$)(50% Messung$\phi_1$)=50% . Dies unterscheidet sich vom reinen Zustandsfall.

Der Unterschied zwischen einer Unsicherheit vom Typ „Dichtematrix“ und einer „Quantenüberlagerung“ eines reinen Zustands liegt also in der Fähigkeit von Quantenamplituden zu interferieren, die Sie messen können, indem Sie viele Kopien desselben Zustands herstellen und dann inkompatible Observable messen.

Abgesehen von den bereits mathematisch ausführlichen Antworten, die oben gegeben wurden, wäre es vielleicht nützlich, ein physikalisches Bild vor Augen zu haben – das Doppelspaltexperiment.

Das klassische 50:50-Bild entspricht dem Fall, in dem Sie zufällig, dh mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 %, durch einen der beiden Schlitze senden. Dadurch entsteht kein Interferenzmuster auf dem Empfangsschirm. Dies ist ein maximal gemischter Zustand und hat keinen Informationsgehalt.

Eine Quantenüberlagerung schickt das Teilchen gleichzeitig durch beide Schlitze, was am Schirm eine Interferenz erzeugt. Ich benutze die Sprache "beide Spalte gleichzeitig", weil wir Physiker mit dieser Art von Sprache aufgewachsen sind und es wirklich keine Möglichkeit gibt, daran vorbeizukommen. Bohr selbst sagt gerne, dass wir an Worten hängen. Dieser Zustand kann zur Übertragung von Informationen verwendet werden; Angenommen, ein Typ moduliert die Positionen des Schlitzes, und so modulieren auch die resultierenden Streifen, die ein anderer Typ am Bildschirm sieht, und die Information ist in der Modulation enthalten. Natürlich wird diese Modulation letztendlich durch die Geschwindigkeit der Teilchen begrenzt, die durch die Lichtgeschwindigkeit begrenzt ist. Als reiner Zustand bedeutet dies, dass der Streifenkontrast perfekt ist, sodass die Informationen optimal übertragen werden.

Dies deutet auf einen grundlegenden Unterschied zwischen klassischen Wahrscheinlichkeiten und Quantenwahrscheinlichkeiten hin; Letzteres hat Phase, kann stören und deterministische Ergebnisse erzeugen.

Der Satz von Wikipedia:

„Zum Beispiel kann es eine 50-prozentige Wahrscheinlichkeit geben, dass der Zustandsvektor ist$| \psi_1 \rangle$und eine 50%ige Chance, dass der Zustandsvektor ist$| \psi_2 \rangle$. Dieses System wäre in einem gemischten Zustand."

ist falsch.

Der Unterschied zwischen reinen Zuständen und teilweise oder vollständig gemischten Zuständen ist nur ein Unterschied in der Struktur der Dichtematrix.

Für einen reinen (vermeintlich normierten) Zustand$\psi$, die Dichtematrix ist$\rho =|\psi\rangle \langle \psi|$, und diese Matrix hat Rang eins, also in gewisser Weise,$\rho$darf geschrieben werden$\rho = \text{Diag}(1,0,0.......0)$

Dichtematrix mit einem von eins verschiedenen Rang entsprechen teilweise oder vollständig gemischten Zuständen.

Vergleichen Sie eine reine und eine gemischte Dichtematrix (in einer Basis$\psi_1 , \psi_2$):

Es ist leicht zu sehen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte das System im Zustand zu finden$1$, ist für die beiden Dichtematrizen gleich:

Ebenso findet man für die beiden Matrizen:$p_2 = \rho_{22}=\frac{1}{2}$

Es gibt eine Äquivalenz zwischen den beiden Fällen, in denen beide unter Verwendung von Pauli-Matrizen untersucht und dargestellt werden können, die die Generatoren der SU(2)-Gruppe sind (was eine mathematische Äquivalenz ist).

Physikalisch repräsentiert jedoch jeder Fall ein anderes System. Das erste System könnte ein Mehrkörpersystem mit vielen Elektronen sein, die 50/50 nach oben und unten polarisiert sind, während das zweite ein einzelnes Elektron sein könnte, dessen Quantisierungsachse nicht entlang seiner Polarisationsachse verläuft, und sagen wir, es ist senkrecht dazu es, und so erhalten Sie die Überlagerung, die Ihnen auch ein 50/50-Ergebnis liefert, wobei das Elektron in einer Überlagerung der beiden Zustände als nach oben und unten orientiert erscheinen kann.

Beachten Sie also, dass Sie im ersten System eine Mischung aus Teilchen/Zuständen in einem einzigen Behälter hatten. Es existieren also BEIDE Zustände. Während im zweiten Fall ein einzelnes Objekt gemessen wurde, erhalten Sie aufgrund der probabilistischen Natur der Quantenmechanik 50/50.

Die Quantenmechanik hat eine strenge mathematische Formulierung in Eigenzuständen bestimmter mathematischer Gleichungen, ausgedrückt in komplexen Zahlen. Das heißt, es gibt Phasen zwischen den verschiedenen Lösungen, und diese Phasen sind zeitlich konstant. Eine Überlagerung dieser Eigenzustände zur Bildung eines neuen Eigenzustands behält die Phasen zwischen den beiden Psis bei.

Bearbeiten, da meine Antwort verwirrend war.

Oft wird die Überlagerung vieler Zustände, bei denen die vollständige quantenmechanische Lösung bekannt ist, als gemischter Zustand bezeichnet. In diesem gemischten Zustand sind die Phasen (Winkelinformationen der Wellenfunktionen) bekannt und eine Dichtematrix, die die verschiedenen Lösungen verbindet, hat diagonale Elemente, die die Phasen zwischen den verschränkten Wellenfunktionen halten.

Gemischt und Überlagerung sind zwei Arten, dieselbe physikalische Situation zu beschreiben.
Die Dichtematrix mixed/superposed_states beschreibt einen kohärenten Zustand. Wenn alle außerdiagonalen Elemente der Matrix innerhalb der Messgenauigkeit Null sind, ist der Vielteilchenzustand inkohärent und die Wellenfunktionen sind nicht verschränkt.

In gewissem Sinne gibt es zwei Arten von Überlagerungen, eine Art ist, wo eine Gesamtrandbedingungen gehorchende Lösung des Problems existiert, und diese wird durch eine Dichtematrix angenähert, wo die Phasen beibehalten werden, und von Überlagerungen, wo die Dichtematrix diagonal ist und die einzelne Wellenfunktionen sind innerhalb von Messfehlern unabhängig voneinander, dh Messgrößen für Teilchen A beeinflussen/verändern nicht die Wellenfunktion und messbare Größen von Teilchen N. Gemischt wird meistens für die erste Bedeutung von Superposition verwendet, für eine gesamte Quantenmechanik Zustand.

Es gibt Möglichkeiten, diese beiden Zustände zu unterscheiden.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir wenden irgendeine Art von Potential auf diese Systeme an, so dass sie im Laufe der Zeit die einheitliche Transformation durchlaufen

$|\psi_1\rangle \rightarrow (|\psi_1\rangle+|\psi_2\rangle)/\sqrt{2}$

$|\psi_2\rangle \rightarrow (|\psi_1\rangle-|\psi_2\rangle)/\sqrt{2}$

(Sie könnten dies beispielsweise implementieren, indem Sie ein HF-Feld an ein Spin-1/2-Teilchen in einem Magnetfeld wie in einem NMR-Gerät anlegen.)

Wenn Sie jetzt die Energie für das erste System messen, haben Sie eine 50/50-Chance, sie zu bekommen$E_1$oder$E_2$. Aber das zweite System wird Energie geben$E_1$.

Die vorherigen Antworten haben den Unterschied zwischen Quantenüberlagerung von Zuständen und Mischung von Zuständen (gemischte Zustände) mathematisch und experimentell erklärt. Hier würde ich versuchen, es intuitiver zu erklären und mich mehr auf den philosophischen Unterschied zu konzentrieren.

Der reine Zustand

befindet sich in einer Überlagerung der Zustände$|\psi_{1}\rangle$Und$|\psi_{2}\rangle$, dh das System ist in beiden$|\psi_{1}\rangle$ UND $|\psi_{2}\rangle$gleichzeitig. Es hat kein klassisches Analogon – kein klassisches Objekt kann gleichzeitig in zwei Zuständen sein. Wenn$|\psi_{1}\rangle$Und$|\psi_{2}\rangle$orthogonale Zustände sind, dann beim Messen$|\psi\rangle$in einer Basis enthaltend$|\psi_{1}\rangle$Und$|\psi_{2}\rangle$, würden wir bekommen$|\psi_{1}\rangle$mit Wahrscheinlichkeit 0,5, und$|\psi_{2}\rangle$mit Wahrscheinlichkeit 0,5.

Nun nehmen wir$50\%$der Staaten in der$|\psi_{1}\rangle$Staat und$50\%$der Staaten in$|\psi_{2}\rangle$Zustand, und mischen Sie sie zusammen. Wenn wir dann ein beliebiges System aus der Mischung auswählen, dann ist es eines von beiden$|\psi_{1}\rangle$Staat ODER in der$|\psi_{2}\rangle$Zustand. Diese Situation tritt auch in der klassischen Mechanik auf. In der Quantenmechanik wird es durch die Dichtematrix dargestellt

Zusammenfassend ist also der Unterschied zwischen Quantenüberlagerung und Ensemble-Mischung von Zuständen einfach der Unterschied zwischen AND und OR .

Experimentell,$\rho$Und$|\psi\rangle$verhalten sich anders, wie in den Antworten von @irritable_phd_syndrom, @Dan Piponi und @physcopath erklärt.

Inspiriert von Wang Yuns Kommentar las ich JJ Sakurais "Modern Quantum Mechanics", S. 174-176 durch. Ich denke, dass seine Verwendung der Ausdrücke "gemischtes Ensemble" / "reines Ensemble" angemessener (und weniger verwirrend) ist als "gemischter Zustand" / "reiner Zustand". Die Verwendung des Ausdrucks „reiner Zustand“ führt zu Verwechslungen mit dem Ausdruck „Überlagerung von Zuständen“.

Ein paar paraphrasierte Beispiele aus seinem Buch:

Ex. 1:

Ein gemischter Staat ist wie eine Abiturientenklasse, die zu 50 % aus Männern und zu 50 % aus Frauen besteht. Wenn wir einen Schüler zufällig auswählen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er männlich (oder weiblich) ist, 0,5. Eine Quantenüberlagerung wäre wie ein Student, der eine kohärente lineare Überlagerung von sowohl männlich als auch weiblich ist.

Ex. 2:

Stellen Sie sich einen Ofen vor, der Silberatome emittiert. Die Atome können entweder nach oben oder nach unten gedreht werden. Es gibt keine Vorzugsrichtung und daher sind die Atome unpolarisiert, ein "zufälliges Ensemble". Wenn wir nun den Atomstrahl durch ein Stern-Gerlauch-Experiment schicken , würden wir erwarten, dass der Strahl in seine zwei Spinzustände aufgespalten wird. Wenn wir einen dieser Strahlen auswählen, hätten wir ein „reines Ensemble“ (Sakurai verwendet „Ensemble“ anstelle von „Zustand“). Der Strahl wäre dann polarisiert.

Wenn wir nun ein anderes drehbares Stern-Gerlauch-Experiment nehmen und unseren polarisierten Strahl hindurchleiten würden, würden die Intensitäten der beiden Ausgangsstrahlen (vom zweiten SG-Experiment) variieren, wenn das zweite SG-Experiment gedreht wird .

Der Unterschied zwischen dem „reinen Ensemble“ und dem „zufälligen Ensemble“ wird veranschaulicht, weil das Drehen eines Stern-Gerlauch-Experiments an einem „zufälligen Ensemble“-Eingang polarisierte Ausgangsstrahlen mit konstanter und gleicher Intensität liefert, unabhängig vom Winkel, in dem es gedreht wird.

Das „reine Ensemble“ (der polarisierte Strahl) hat einen Winkel, in dem die Ausgangsstrahlen des drehbaren SG-Experiments 0 sind.

Das „zufällige Ensemble“ und das „reine Ensemble“ sind die beiden Extreme des sogenannten „gemischten Ensembles“. Es ist wichtig zu beachten, dass ein Ensemble eine Ansammlung physikalischer Systeme (dh mehrerer Teilchen) ist. Ein „gemischtes Ensemble“ kann man sich als Mischung „reiner Ensembles“ vorstellen.

Ich finde das auch verwirrend. Ich denke jedoch, dass die Wikipedia-Erklärung "Quantum State" des Unterschieds weniger verwirrend ist als die Wikipedia-Erklärung "Dichtematrix".
Es besagt, dass der mathematische Unterschied zwischen den beiden darin besteht, dass die Spur der Dichtematrix eines reinen Zustands 1 ist, aber die Spur der Dichtematrix eines nicht reinen gemischten Zustands kleiner als eins ist.

Die Problematik des ersten Vorbereitens und zweiten Messens von reinen gegenüber nicht reinen gemischten Zuständen fügt weitere Komplexität hinzu.

Die Quantenüberlagerung kann ein reiner Zustand sein, aber ich denke, man kann auch Mischungen aus zwei verschiedenen Quantenüberlagerungen herstellen,

In einem gemischten Zustand befinden sich alle Komponenten in einem der Zustände, von denen der reine Zustand eine Überlagerung ist.
Zum Beispiel 50 Elektronen mit Spin-Up und 50 mit Spin-Down in einem 100-Elektronen-Ensemble aus isolierten Elektrinen. Nach einer Messung an den reinen Auf-Ab-Überlagerungen waren sie vor den Messungen drin. Aufgrund der Vielzahl von Überlagerungen in der Bloch-Sphäre können hier verschiedene Mischzustände erzielt werden.
Anhand der 100 Messungen können Sie die reinen Zustände herausfinden.