Erklärung, warum diese Ableitung der Schmidt-Zerlegung funktioniert

Ich folge den Notizen von Preskill und er leitet die Schmidt-Zerlegung folgendermaßen ab:

Lassen Sie einen zweigliedrigen Staat sein ψ A B = ∑ ich , J λ ich J | ich ⟩ | J ⟩ = ∑ ich | ich ⟩ | ich ~ ⟩ , wo ich einfach wähle ∑ J λ ich J | J ⟩ = | ich ~ ⟩ .

Ich wähle einen Satz von Basisvektoren | ich ⟩ so dass der Teilzustand diagonal ist, das heißt ρ A = ∑ ich P ich | ich ⟩ ⟨ ich | . Aber ich kann auch erhalten ρ A = T R B ( ρ A B ) = T R B ∑ ich , J | ich ⟩ ⟨ J | ⊗ | ich ~ ⟩ ⟨ J ~ | = ∑ ich J ⟨ J ~ | ich ~ ⟩ | ich ⟩ ⟨ J | . Der letzte Teil kann durch explizites Überschreiben der Spur berechnet werden B und Verwenden der Eigenschaften einer orthonormalen Basis.

Somit haben wir ρ A = ∑ ich P ich | ich ⟩ ⟨ ich | = ∑ ich J ⟨ J ~ | ich ~ ⟩ | ich ⟩ ⟨ J | . Das ist ⟨ J ~ | ich ~ ⟩ = P ich δ ich J . Plötzlich ist die | ich ~ ⟩ sind alle orthogonal zueinander.

Warum wählt man die Basis wo ρ A ist diagonal gibt Ihnen auch orthogonale Vektoren in B ? Dies schien für mich vom Himmel zu fallen, obwohl die Mathematik klar ist. Was ist die physikalische Bedeutung davon?

Antworten (2)

Beginnen wir mit der Schmidt-Zerlegung | ψ ⟩ = ∑ S ich | A ich ⟩ | B ich ⟩ .

Betrachten Sie nun den reduzierten Zustand von A : ρ A = ∑ S ich 2 | A ich ⟩ ⟨ A ich | . Das heißt, die Eigenbasis von A ist genau die Basis, die Sie für die Schmidt-Zerlegung brauchen!

Wenn Sie also Ihren Zustand unter Verwendung dieser Eigenbasis von Alice schreiben,

| ψ ⟩ = ∑ ich | A ich ⟩ ( ∑ J λ ich J | J ⟩ )   ,
Das Teil | B ~ ich ⟩ = ∑ J λ ich J | J ⟩ muss gleich sein S ich | B ich ⟩ , da die Schmidt-Zerlegung eindeutig ist (Modulo-Entartungen).

Warum wählt man die Basis wo ρ A ist diagonal gibt Ihnen auch orthogonale Vektoren in B ?

Die Antwort ist in dem in der Frage gezeigten Beweis enthalten. Ich werde es hier etwas anders aufschreiben, um zu versuchen, hervorzuheben, was passiert:

Angenommen, der Staat

(1) ψ A B = ∑ N | A N ⟩ | B N ⟩
so ist, dass der reduzierte Zustand
(2) ρ A = Verfolgen B ( ψ A B )
ist diagonal in der A N Basis. Genauer gesagt ist der reduzierte Zustand definiert durch
(3) ρ A = ∑ k ( ∑ N | A N ⟩ ⟨ B ^ k | B N ⟩ ) ( ∑ M ⟨ B M | B ^ k ⟩ ⟨ A M | )
wo die Vektoren | B ^ k ⟩ sind per Definition orthonormal (weil wir sie verwenden, um die Spur zu berechnen). Dies impliziert
(4) ρ A = ∑ N , M | A N ⟩ ⟨ B M | B N ⟩ ⟨ A M | .
Davon sind wir ausgegangen ρ A ist diagonal in der A N Basis, und die Terme in der Summe in (4) alle linear unabhängig sind, ist dies nur möglich, wenn der Koeffizient jedes einzelnen Terms außerhalb der Diagonale Null ist:
⟨ B M | B N ⟩ = 0.
Somit ist Gleichung (1) in Schmidt-Form.

Entschuldigung, vielleicht hätte meine Frage klarer sein sollen, aber ich habe verstanden, dass es eine eindeutige Basisauswahl für gibt A (im Gegensatz zur willkürlichen Grundlage von A ), das gibt mir orthogonale Vektoren in B . Ich verstehe einfach nicht, warum diese spezielle Wahl der Basis diagonalisiert ρ A ist auch in der Lage, orthogonale Vektoren anzugeben B . Was ist der Zusammenhang zwischen Diagonalisierung ρ A und Erhalten der Schmidt-Beschreibung für ρ A B ?
@ user1936752 Ich habe meine Antwort durch eine ersetzt, die versucht, diese Verbindung klarer zu machen, obwohl es nur eine Neufassung des ursprünglichen Beweises ist. Der Punkt ist, dass, wenn wir uns Gleichung (3) ansehen und davon ausgehen, dass die Terme außerhalb der Diagonale Null sind (was wir sagen, wenn wir das sagen ρ A ist diagonal in der A N Grundlage ), die Schlussfolgerung, dass die B N sind orthogonal folgt unmittelbar. Ich würde nicht sagen, dass dies eine "physikalische Bedeutung" hat; es ist nur eine mathematische Identität.
Okay, trotzdem danke, dass du es geschrieben hast! Ich lasse die Frage ein wenig offen, um zu sehen, ob jemand anderes eine Ahnung hat, warum dies über den mathematischen Beweis hinaus funktioniert.
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