Absolute Positivität: Warum ist die Bedingung für Quantenkarten ausreichend?

Lassen Sie mich mit der Frage beginnen: Was sollte Ihrer Meinung nach die Definition von vollständiger Positivität stattdessen sein? Sie wollen, dass es "sicherstellt, dass ich niemals eine nicht positive globale Transformation finden werde", aber das kann in dieser Allgemeinheit nicht möglich sein. Was ich hier zu sagen versuche ist: wenn vollständige Positivität eine Bedingung sein soll$\mathcal L_A$, Dann$\mathcal L_A$muss in der Definition vorkommen.

Was wir wirklich wollen, sind Karten des Formulars$\mathcal L_A \otimes \mathcal L_B$ist positiv, denn willkürlich$H_B$Und$\mathcal L_B$. Wir betrachten nur globale Transformationen, die ein Produkt zweier Abbildungen sind$\mathcal L_A$Und$\mathcal L_B$die auf ihre individuellen Hilbert-Räume wirken und den anderen Raum in Ruhe lassen.

Nun beachte das

Die Definition garantiert, dass, wenn$\mathcal L_A$Und$\mathcal L_B$sind auch durchweg positiv$\mathcal L_A \otimes \mathcal L_B$ist absolut positiv. Es ist zunächst überraschend, dass die gleiche Eigenschaft nicht gilt, wenn wir „völlig positiv“ durch „positiv“ ersetzen, und ich empfehle Ihnen, sich dazu ein Gegenbeispiel zu überlegen.

Bearbeiten Sie als Antwort auf die Kommentare.

1. Ja, wir könnten andere Definitionen treffen, aber das ist nicht mit „ganz positiv“ gemeint.
2. Vollständige Positivität taucht normalerweise im Zusammenhang mit CPTP-Karten auf. CPTP-Karten sind die Antwort auf die Frage:
   Habe ich Zugriff auf ein Subsystem$H_A$nur, und ich studiere seine Zeitentwicklung: Was ist das absolute Minimum an Eigenschaften, von denen ich sicher sein kann, dass die Zeitentwicklung sie haben wird?
   Die Antwort ist, dass der Evolutionsoperator (konvex) linear sein und eine Dichtematrix auf eine Dichtematrix abbilden muss, und die Positivität der resultierenden Dichtematrix darf nicht davon abhängen, was in nicht verwandten anderen Experimenten passiert. Und das entspricht der Definition von vollständiger Positivität.
3. Bisher haben wir nicht darüber gesprochen, dass zwei Systeme verschränkt sind oder so etwas. Das kommt über das Stinespring-Theorem herein , das uns sagt: Eine Karte ist genau dann CPTP, wenn sie in der Form geschrieben werden kann $$\rho \mapsto \operatorname{tr}_B \{ U (\rho \otimes \rho_B) U^\dagger \} .$$ Hier,$U$ist eine einheitliche Zeitentwicklung auf dem vollständigen System.
4. Also, was genau sind die Bedingungen, die Sie für eine Karte wünschen$\mathcal L_A$sagen wir "StarBucK-positiv" zu sein? Einige Optionen:

   $\mathcal L_A$ist StarBucK-positiv gdw: für alle Hilbert-Räume$H_B$und alle (alle positiven ?) (alle StarBuck-positiven ?) (alle einheitlichen ?) Zeitentwicklungen$\mathcal L$An$H_A \otimes H_B$so dass$\operatorname{tr}_B \circ \mathcal L = \mathcal L_A$(und damit$\operatorname{tr}_A \circ \mathcal L$ist auch StarBucK-positiv?) ... welche Bedingung gilt ?

Eine weitere Bearbeitung, ich möchte eines klarstellen: Wenn$\mathcal L_A$ist CP, das garantiert nicht jeder$\mathcal L$mit$\operatorname{tr}_B \circ \mathcal L = \mathcal L_A$ist positiv. Eine solche Garantie ist ausgeschlossen$\mathcal L_A$enthält nicht alle Informationen über$\mathcal L$.

Meine Definition von vollständiger Positivität ist:

$$\langle \phi^{AB} | \mathcal{L}_A \otimes 1 (\rho_{AB}) | \phi^{AB} \rangle \geq 0$$ Wo$\mathcal{L}_A$ist der Betreiber, den ich will, völlig positiv.

Dies ist in der Tat die Definition einer vollständig positiven Karte, und sie wird auf diese Weise definiert, um sicherzustellen, dass die durch die Evolution verursachte$\mathcal{L}_A$ist physikalisch, selbst wenn sich das System als Teil eines größeren Systems in einem verschränkten Zustand herausstellt.

Der Grund, warum wir den betreffenden Evolutionsoperator auf die Form beschränken$\mathcal{L}_A \otimes 1$anstatt$\mathcal{L}_A \otimes \mathcal{L}_B$oder auch$\mathcal{L}_{AB}$liegt daran, dass wir wollen, dass vollständige Positivität eine Aussage ist, bei der es ausschließlich darum geht$\mathcal{L}_A$und nicht etwas anderes. Für dieses Kriterium$\mathcal{L}_A$feststeht: es ist, was es ist, und es hat die Wirkung, die es hat$\mathscr H_A$, und es ist uns egal, woher es kommt oder was sonst noch in anderen Teilen des Systems vor sich geht.

Das bedeutet insbesondere, dass, wenn die Art und Weise, wie Sie generieren$\mathcal{L}_A$ist, dass Sie ein Ancilla-System haben$\mathscr H_{A'}$und du hast einen größeren Kanal$\mathcal L_{AA'}$Einwirken auf$\mathscr H_A\otimes \mathscr H_{A'}$, auf die Sie dann teilweise zurückverfolgen$\mathcal L_A = \mathrm{tr}_{A'}(\mathcal L_{AA'})$, dann so weit wie die vollständige Positivität von$\mathcal L_A$Was einen Quantenkanal angeht, ist es uns egal , dass er so produziert wurde. Uns ist wichtig, dass es sich um einen funktionalen Quantenkanal handelt, der eine physikalische Evolution darstellt$\mathscr H_A$selbst wenn es andere Systeme (nicht die ancilla) gibt, die mit dem interessierenden System verstrickt sind.

Aus diesem Grund wird das Kriterium so geschrieben, wie Sie es festgelegt haben: Es mag andere Tensorfaktoren geben, aber die fragliche physikalische Transformation ist es$\mathcal L_A$Und$\mathcal L_A$ nur (deshalb hast du eine$\otimes 1_B$dahinter). Alles andere ist nur dazu da, um sicherzustellen, dass die Verwandlung in einer möglichst allgemeinen Einstellung das physisch ist$\mathcal L_A$, als Einheit, sich selbst begegnen könnte.

Hier scheint es viele Fragen zu geben. Ich beantworte einige Fragen, von denen ich glaube, dass Sie sie stellen, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich wirklich Ihre Fragen anspreche – ich verstehe wirklich nur eine Ihrer Fragen.

(1) Warum wirkt der Betreiber auf$\rho_{AB}$das Formular haben${\cal L}\otimes I$?

Im Allgemeinen gehen wir davon aus, dass wir eine Karte erhalten, die nur auf das System wirkt$A$.

Nun, wenn wir uns bewerben${\cal L}$Zu$A$, und wir tun nichts zu$B$, dann ist der kombinierte Operator${\cal L}\otimes I$.

Eine kurze Intuition dafür: wenn ein Operator nur auf das System angewendet wird$A$hat einen gewissen Nicht-Identitätseffekt auf ein zweites System$B$das war unkorreliert$A$, das wäre sehr seltsam. Und die Linearität der Quantenmechanik impliziert dann, dass der kombinierte Operator ist${\cal L}\otimes I$.

(2) Vielleicht ist Ihre eigentliche Frage: Angenommen, Sie haben eine Quantenkarte${\cal L}$die auf mehreren Systemen wirkt. Woher weißt du das, wenn du es dir nur ansiehst?$A$, dass die Quantenkarte völlig positiv ist?

Angenommen, es gibt ein System$C$, irgendwo im Universum (vielleicht auf Alpha Centauri), die${\cal L}$fungiert als Identität. Dann${\cal L} \otimes I$ist die Karte, auf der agiert$A \otimes C$, und das obige Argument zeigt das${\cal L}$ist absolut positiv. Ich gehe davon aus, dass dies Ihre Frage nach praktischen Quantenkarten in der realen Welt beantwortet.

(3) Wenn Sie ein sehr, sehr kleines Universum haben – sagen Sie Ihren Hilbert-Raum$A$ist ein Unterraum des Universums$U$mit